Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hai số thực a<b . Nếu \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\alpha\) thì tích phân \(\int\limits_{a / 2}^{b / 2} f(2 x) d x\) có giá trị bằng

Tìm a để \(\int_{1}^{2}(3-a x) d x=-3\) ?

Cho \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=3\). Tính tổng \(f\left( 0 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( -3 \right)\).

Biết \(\int_{a}^{b}(2 x-1) d x=1\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(x)+2 f(x)=0\) . Biết\(f(1)=1, \text { tính } f(-1)\)
 

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x=1 là:
 

Tích phân \(L = \mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{\pi }} x\;\sin xdx\) bằng:

Cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 3\). Khi đó \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]dx\) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{2}+x-2\) và trục hoành bằng
 

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và\(f(x)+f(-x)=\cos ^{4} x\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\)
 

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin 2x.\sin 3xdx\)

Biết \(\mathop \smallint \nolimits_0^3 \frac{{ - x + 8}}{{{x^2} + 5x + 4}}dx = a\ln b - b\ln a\) với a, b > 0 thì \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}\) bằng:

Biết \(I=\int_{0}^{1}(2 x+3) e^{x} \mathrm{d} x=a e+b, \text { với } a, b\) là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y=2-x^{2}\) và đường thẳng y=-x là

Cho các số thực a, b và các mệnh đề:

\(1.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx\)

\(2.\mathop \smallint \nolimits_a^b 2f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx\)

\(3.\mathop \smallint \nolimits_a^b {f^2}\left( x \right)dx = {\left[ {\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx} \right]^2}\)

\(4.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( u \right)du\)

Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là:

 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = 2x − x² và đường thẳng x + y = 2 là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y\; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - x,x \le 1}\\
{x - 2,\;x > 1}
\end{array}} \right.\) và \(y=\frac{{10}}{3}x\; - \;{x^2}\)  là a/b . Khi đó a + 2b bằng

Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \left| {\sin x} \right|dx\)

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin 3x.\cos xdx\) có giá trị là:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \frac{{2 – \pi }}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \) bằng

 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x² + x − 1 và y = x⁴ + x − 1 là: