Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;2]. Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), y=0, x=1 \text { và } x=2\). Công thức tính diện tích S của (D) là công thức nào trong các công thức dưới đây?

Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4 \sin ^{3} x}{1+\cos x} d x\) có giá trị bằng
 

Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \left( {2x + 3} \right).\sin \;4xdx\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa \(\int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 5} – x} \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = 3.\) Tính \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và \(\mathop \smallint \nolimits_a^b x\sin xdx = {\rm{\pi }}\) đồng thời a cos a = 0 và bcosb = −π.Tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_a^b \cos xdx\)

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin \;xdx\) bằng:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x^{3}-x, y=x-x^2\)

Giá trị tích phân \(J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+1\right) \cos x d x\) là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = e^x\) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^{3}} d x\) là
 

Tích phân \(I=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}+a x+2\right) d x\) có giá trị là:

Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=\mathrm{e}, y=\mathrm{e}^{x} \text { và } y=(1-\mathrm{e}) x+1\) (tham khảo hình vẽ bên).

Diện tích hình phẳng (H ) là
 

Cho hàm số y =f(x)  liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức

 Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y=\frac{1}{1+\sin 2 x} \text { với } \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} .\) Biết \(F(0)=1 \text { và } F(\pi)=0\)Tính giá trị của biểu thức \(P=F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)\)?

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = \(\frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3x} }}\) và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{3} \frac{x-3}{3 \cdot \sqrt{x+1}+x+3} d x\) là

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn\(f(1+2 x)+f(1-2 x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{3} f(x) d x\)

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn \(f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R} . \text { Tính } I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x\)

Biết \(\mathop \smallint \nolimits_1^8 f\left( x \right)dx =  - 2,\mathop \smallint \nolimits_1^4 f\left( x \right)dx = 3,\mathop \smallint \nolimits_1^4 g\left( x \right)dx = 7\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Giá trị của tích phân \(I=\int^{\ln 2}_0 \sqrt{e^{x}-1} d x\) là

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b  x = a, x = b được tính theo công thức: