Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số \(y=x^{2} \sqrt{x^{2}+1}\), trục Ox và đường thẳng x =1 bằng \(\frac{a \sqrt{b}-\ln (1+\sqrt{b})}{c}\) với a,b,c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a+b+c là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saita có:
\(\begin{aligned} S &=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{2}+1} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(x^{3}+x\right) \mathrm{d}(\sqrt{x^{2}+1}) \\ &=\left.\left(x^{3}+x\right) \sqrt{x^{2}+1}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1}\left(3 x^{2}+1\right) \mathrm{d} x \\ &=2 \sqrt{2}-3 S-\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} \mathrm{d} x \end{aligned}\)
Đặt \(I=\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} \mathrm{d} x\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ Xé t }}I = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} dx} }\\ {{\rm{ Đặt }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{x^2} + 1} = u}\\ {dx = dv} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = du}\\ {x = v} \end{array}} \right.} \right.}\\ { \Rightarrow I = \left. {x\sqrt {{x^2} + 1} } \right|_0^1 - \int_0^1 {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \sqrt 2 - \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = \sqrt 2 - I + \int_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} }\\ { \Rightarrow 2I = \sqrt 2 + \int_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \sqrt 2 + \int_0^1 {\frac{{\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \sqrt 2 + \left. {\ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )} \right|_0^1}\\ { \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}} \end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} S = 2\sqrt 2 - 3S - \frac{{\sqrt 2 + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\\ \Rightarrow 4S = \frac{{3\sqrt 2 + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\\ \Rightarrow S = \frac{{3\sqrt 2 + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{8}\\ \Rightarrow a = 3;b = 2;c = 8 \end{array}\)
khi đó a+b+c=13
