Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 2\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{2}-4} ; f(-3)=0\) . Tính giá trị biểu thức \(P=f(-4)+f(-1)+f(4)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Từ } f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{2}-4} \Rightarrow f(x)=\int \frac{4 d x}{x^{2}-4}=\int \frac{4 d x}{(x-2)(x+2)} \\ =\left\{\begin{array}{l} \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C_{1} \text { khi } x \in(-\infty ;-2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C_{2} \text { khi } x \in(-2 ; 2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C_{3} \text { khi } x \in(2 ;+\infty) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\text { Ta có }\left\{\begin{array}{l} f(-3)=0 \\ f(0)=1 \\ f(2)=2 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \ln 5+C_{1}=0 \\ 0+C_{2}=1 \\ \ln \frac{1}{5}+C_{3}=2 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} C_{1}=-\ln 5 \\ C_{2}=1 \\ C_{3}=2+\ln 5 \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|-\ln 5 & \text { khi } x \in(-\infty ;-2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+1 & \text { khi } x \in(-2 ; 2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+2+\ln 5 & \text { khi } x \in(2 ;+\infty) \end{array}\right.\)
Khi đó \(P=f(-4)+f(-1)+f(4)=\ln 3-\ln 5+\ln 3+1+\ln \frac{1}{3}+2+\ln 5=3+\ln 3\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(f\left( x \right), g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 5} ;\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 7\,} \). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{1}{x}, y=0, x=1, x=a,(a>1)\) quay xung quanh trục Ox .
-
Biết \(\int_{1}^{8} f(x) \mathrm{d} x=-2 ; \int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=3 ; \int_{1}^{4} g(x) \mathrm{d} x=7 .\). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Giá trị của tích phân\(I=2 \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{(x+1) \sqrt{x+1}}\)
-
Cho tích phân \(I=\int_{0}^{4} \frac{\mathrm{d} x}{3+\sqrt{2 x+1}}=a+b \ln \frac{2}{3} \text { với } a, b \in \mathbb{Z}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn điều kiện \(f(1)=3\) và \(x\left(4-f^{\prime}(x)\right)=f(x)-1, \forall x>0\). Giá trị của f(2) bằng?
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} x\;\cos \;xdx\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) có giá trị bằng
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{6}} {\sin ^3}x.\cos \;xdx\) bằng:
-
Cho \(\mathop \smallint \nolimits_1^3 f\left( x \right)dx = - 5,\;\mathop \smallint \nolimits_1^3 \left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 9.\). Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^3 g\left( x \right)dx\)
-
Tập hợp giá trị của m sao cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^m \left( {2x - 4} \right)dx = 5\) là
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)}\sin 2x\text{d}x\).
-
Giá trị của tích phân \(I=\int^{\ln 2}_0 \sqrt{e^{x}-1} d x\) là
-
Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}\)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {(x - 6)^2}\) và \(y = 6x - {x^2}\) là:
-
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
-
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên ℝ và \(f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x\). Tính \(I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x\)
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x\) , trục hoành, trục tung, đường thẳng x =1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\)
.Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\)
