Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, liên tục trên \(\left[ { – 4;4} \right]\). Biết rằng \(\int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính tích phân \(I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nên : \(2 = \int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = – \int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
Đặt \(t = 2x \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x\).
Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = 2,\,\,x = 2 \Rightarrow t = 4\)
\( \Rightarrow \int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = – \int_1^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\int_2^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 4 \Rightarrow \int_2^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = – 8\).
\( \Rightarrow \int_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 8\).
Vậy \(I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2 – 8 = – 6\).
