Ta có tích phân \(I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.\). Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)

Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)\left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^{x}, \forall x \in \mathbb{R}\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=3\)

Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a\). Tìm \(a\)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin 3x.\cos xdx\) có giá trị là:

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn \(f(1)=\) và \(f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]\) Giá trị của \(\int_{1}^{2} f(x) d x\) bằng?

Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}\) và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy

Giả sử \(I=\int_{1}^{64} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=a \ln \frac{2}{3}+b \text { vói } a, b\) là số nguyên. Tính giá trị a-b

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x = 4 , x = 9 và đường cong có phương trình \(y^{2}=8 x\)

Nếu \(\begin{equation} \int_{-1}^{4}[5 f(x)-3] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{-1}^{4} f x \mathrm{~d} x \text { bằng } \end{equation}\)

Tính \(I=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x\)

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x+2}\), trục hoành và đường thẳng x = 2 là 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;{e^x}\; - \;{e^{ - x\;}}\), trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C), xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f(x)>0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f^{\prime}(x)=(x \cdot f(x))^{2}, \forall x \in \mathbb{R} \quad \text { và } \quad f(0)=2\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của đồ thị (C) là. 

Giá trị của tích phân: \(I=\int\limits_{0}^{4} \frac{x+1}{(1+\sqrt{1+2 x})^{2}} d x\) là
 

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x²− 4x + 6 và y = −x²−2x + 6

Cho hàm số y=f(x) và thỏa mãn \(f(x)-8 x^{3} f\left(x^{4}\right)+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}=0\). Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{a-b \sqrt{2}}{c} \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{c} ; \frac{b}{c}\)tối giản. Tính a+b+c

Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx\)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị \(y=(2 x-1) \sqrt{\ln x}\) , trục hoành và đường thẳng x = e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức
 

Giá trị của tích phân\(I=2 \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{(x+1) \sqrt{x+1}}\)