Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-4 x e^{-f^{3}(x)+2 x^{2}+x+1}=1=f(0)\). Biết rằng \(I=\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}(4 x+1) f(x) \mathrm{d} x=\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T=a-3 b\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} 3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-4 x e^{-f^{3}(x)+2 x^{2}+x+1}=1=f(0) \Leftrightarrow\left(f^{3}(x)\right)^{\prime} e^{f^{3}(x)}-e^{f^{3}(x)}=(4 x+1) \cdot e^{2 x^{2}+x+1}-e^{2 x^{2}+x+1} \\ \Rightarrow\left[f^{3}(x)-x\right]^{\prime} e^{f^{3}(x)-x}=\left(2 x^{2}+1\right)^{\prime} \cdot e^{2 x^{2}+1} \Rightarrow e^{f^{3}(x)-x}=e^{2 x^{2}+1}+C \\ \text { Mà } f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f^{3}(x)-x=2 x^{2}+1 \\ \Rightarrow f^{3}(x)=2 x^{2}+x+1 \Rightarrow f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+x+1} \\ \Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}(4 x+1) f(x) \mathrm{d} x=\frac{12285}{4} \end{array}\)
Vậy \(T=a-3 b=12273\)