Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa $3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-4 x e^{-f^{3}(x)+2 x^{2}+x+1}=1=f(0)$.  Biết rằng $I=\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}(4 x+1) f(x) \mathrm{d} x=\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T=a-3 b$

Cho $\int_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x=3 . \text { Tính } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x$

Tập hợp nghiệm của bất phương trình $\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)$ là:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện $f(1)=2, f(x) \neq 0, \forall x>0 \text { và }\left(x^{2}+1\right)^{2} f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\left(x^{2}-1\right)$
 với mọi x > 0 . Giá trị của f (2) bằng 

Nếu $\int_{-2}^{0}\left(5-e^{-x}\right) d x=K-e^{2}$ thì giá trị của K là:
 

Cho hàm số f liên tục trên $\mathbb{R}$ và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

Cho $I = \mathop \smallint \nolimits_1^{{e^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}}}} \frac{{\cos \left( {\ln \;x} \right)}}{x}dx$, ta tính được:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\},$ thỏa ${f}'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1},f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ bằng

Cho hàm số f (x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và các tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 \text { và } \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{d} x=2$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(4-x)=f(x)$. Biết $\int_{1}^{3} x f(x) \mathrm{d} x=5$. Tính $I=\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$

Giá trị của $\int_{0}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{d} x=\frac{a}{b} \pi \text { trong dó } a, b \in \mathbb{Z} \text { và } \frac{a}{b}$. Tính giá trị của biểu thức T=ab

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số$y=\left|x^{2}-1\right|, y=|x|+5$ . Diện tích của (H) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn f(0) = 3 và $f(x) + f(2 – x) = {x^2} – 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}$. Tích phân $\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x}$ bằng

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn $\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-2}^{2} f(x) d x ?$

Nếu $\int_{-2}^{0}\left(4-e^{-x / 2}\right) d x=K-2 e$ thì giá trị của K là
 

Tích phân $I=\int_{1}^{a}\left(\frac{a}{x}+\frac{x}{a}\right) d x, \text { với } a \neq 0$ có giá trị là:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn  $f(x)=\frac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x}$ . Tính tích phân $I=\int_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x$

Biết rằng $\begin{equation} \int_{1}^{2} \frac{x^{3}-1}{x^{2}+x} \mathrm{~d} x=a+b \ln 3+c \ln 2 \text { với } a, b, c \text { là các số hữu tỉ. Tính } 2 a+3 b-4 c \text {. } \end{equation}$

Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và $\mathop \smallint \nolimits_a^b x\sin xdx = {\rm{\pi }}$ đồng thời a cos a = 0 và bcosb = −π.Tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_a^b \cos xdx$

Tập hợp các giá trị của b sao cho $\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5}$ là: