Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\},$ thỏa ${f}'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1},f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ bằng

Giá trị của tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} x \sin ^{2} x d x$ là

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính $I=\int_{0}^{2} f(x) d x$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị (C) là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 (phần tô đen) là

Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x$ là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {x^2} - x + 3$ và y = 2x + 1 là:

Tính tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b$. Phần nguyên của tổng a + b là ?

Biết $y = f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, xác định, liên tục trên $\left[ { – 2;2} \right]$ và $\int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$. Tính $\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

Giá trị của tích phân $I=\int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^{2 x} d x}{\sqrt{e^{x}-1}}$ là

Cho hàm số chẵn y=f(x) liên tục trên $\mathbb{R} \text { và } \int_{-1}^{1} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x=8$ . Giá trị của $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ bằng: 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 0, \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7$ và $\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}$. Tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vân tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó được :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) > 0 và f(x)f(a – x) = 1. Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_0^a \frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K. Mệnh đề nào sau đây sai?

Tích phân$\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \cos \left(3 x-\frac{2 \pi}{3}\right) d x$ có giá trị là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = xsin2x, y = 2x, $x\; = \;\frac{{\rm{\pi }}}{2}$

Tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_{\frac{{\rm{\pi }}}{4}}^{\frac{{3{\rm{\pi }}}}{4}} \left| {\sin 2x} \right|dx$ ta được kết quả :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f(1)=4, \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=36 \text { và } \int_{0}^{1} x . f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{5}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ bằng 

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x$.

Cho f(x) liên tục trên [0;5] thỏa mãn $\mathop \smallint \limits_0^5 f\left( x \right)dx = 5,\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 1$, khi đó giá trị của $P = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^5 f\left( x \right)dx$ là:

Cho hàm số y=f(x) thoả mãn điều kiện f (1) =12 , f'(x) liên tục trên $\mathbb{R} \text { và } \int_{1}^{4} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=17$ Khi đó f (4) bằng