Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\\ f\left( 2 \right) = a + b\ln 3;\,\,a,\,b \in Q\\ x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x \end{array} \right.\).
Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(x\left( x+1 \right).{f}'\left( x \right)+f\left( x \right)={{x}^{2}}+x\) (1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho \({{\left( x+1 \right)}^{2}}\) ta được \(\frac{x}{x+1}.{f}'\left( x \right)+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}f\left( x \right)=\frac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \)\({{\left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{x+1}\), với \(\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\).\(\Rightarrow \)\(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right) =\int{\frac{x}{x+1}\,}\text{d}x\)
\(\Leftrightarrow \)\(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right)=x-\ln \left| x+1 \right|+C\)\(\Leftrightarrow \)\(f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\left( x-\ln \left| x+1 \right|+C \right)\)
Mặt khác, \(f\left( 1 \right)=-2\ln 2\)\(\Leftrightarrow 2\left( 1-\ln 2+C \right)=-2\ln 2\)\(\Leftrightarrow C=-1\).
Do đó \(f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\left( x-\ln \left| x+1 \right|-1 \right)\).
Với \(x=2\) thì \(f\left( x \right)=\frac{3}{2}\left( 1-\ln 3 \right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a=\frac{3}{2}\) và \(b=-\frac{3}{2}\).
Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{9}{2}\).
Câu hỏi liên quan
-
Biết \(\smallint x{e^{2x}}dx = ax{e^{2x}} + b{e^{2x}} + C\), với a, b ∈ Q. Tính tích a.b
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng
-
\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{2}^{2021} f(x) d x=12 \text { và } \int_{2020}^{2021} f(x) d x=2 \end{equation}\) \(\begin{equation} \text { thì } \int_{2}^{2020} f(x) d x \text { bằng } \end{equation}\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ay = x2 và ax = y2 là:
-
Tích phân \(L = \mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{\pi }} x\;\sin xdx\) bằng:
-
Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường \(y=e^{x}, y=0, x=0, x=\ln 8\). Đường thẳng \(x=k(0<k<\ln 8)\) chia (H ) thành hai phần có diện tích là \(S_{1}\, và\, S_{2}\). Tìm k để \(S_{1}=S_{2}\)
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) là
-
Biết \(\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}+3 x+3}{x^{2}+2 x+1} \mathrm{d} x=a-\ln b \text { vói } a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a^{2}+b^{2}\)
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{8 \ln x+1}}{x}\) bằng
-
Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x, y=\frac{1-x}{x}, y=0\) (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(f\left(x^{3}+1\right)=2 x-1, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)
-
Tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} \) có giá trị bằng
-
Tích phân \(\int_{2}^{3} \frac{x^{2}-x+4}{x+1} d x\) bằng
-
Cho hàm số y=f(x) và thỏa mãn \(f(x)-8 x^{3} f\left(x^{4}\right)+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}=0\). Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{a-b \sqrt{2}}{c} \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{c} ; \frac{b}{c}\)tối giản. Tính a+b+c
-
Giả sử \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}dx = a\ln 5 + b\ln 3;\;a,b \in Q\). Tính P = ab.
-
Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b] \text { và } c \in[a ; b]\) . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin ^{2} x \tan x d x=\ln a-\frac{b}{8}\) Chọn mệnh đề đúng:
