Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \backslash\{0\}$ biết $x \cdot f(x) \neq-1, \forall x \neq 0 ; \quad f(1)=-2$ và $(x \cdot f(x)+1)^{2}-x \cdot f^{\prime}(x)-f(x)=0$ với $\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$. Tính $\int_{1}^{e} f(x) \mathrm{d} x$?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn $f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $f^{\prime}(x)+2 f(x)=0$ . Biết$f(1)=1, \text { tính } f(-1)$
 

Cho hai tích phân $\int_{-\pi}^{a} f(x) d x=m \text { và } \int_{-\pi}^{a} g(x) d x=n$ . Giá trị của tích phân $\int_{-a}^{a}[f(x)-g(x)] d x$ là:

Tính tích phân sau: $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^5}xdx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y\; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x,x \le 1}\\ {x - 2,\;x > 1} \end{array}} \right.$ và $y=\frac{{10}}{3}x\; - \;{x^2}$  là a/b . Khi đó a + 2b bằng

Biết $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}$. Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính $T=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Số lượng một loại vi khuẩn gây bệnh có trong cơ thể của một người sau thời gian t (ngày) là f(t), trong đó $f'\left( t \right) = \frac{{10000}}{{3t + 1}}.$ Một người mắc bệnh do vi khuẩn gây ra. Khi đi khám lần thứ nhất, trong cơ thể của người này có 1000 con vi khuẩn nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh. Biết rằng nếu trong cơ thể người đó có trên 12000 con vi khuẩn thì người này sẽ ở tình trạng nguy hiểm. Hỏi sau 10 ngày người đó đi khám lại thì trong cơ thể của họ có đang trong tình trạng nguy hiểm không, nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn là bao nhiêu con?

Cho hàm số y=f(x) thoả mãn điều kiện f (1) =12 , f'(x) liên tục trên $\mathbb{R} \text { và } \int_{1}^{4} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=17$ Khi đó f (4) bằng

Biết rằng  $\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)$. Mệnh đề nào sau đây đúng
 

Tính  tích phân sau $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\sin x}}{{1 + \sin 2x}}dx$

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường$y=x^{2}, y=0, x=0, x=4$ . Đường thẳng $y=k(0<k<16)$ chia  hình thành hai  phần có diện tích $S_{1}, S_{2}$ , (hình vẽ). Tìm k để $S_{1}=S_{2}$

Tích phân $I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x$ có giá trị là:

Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^2 2xdx$. Chọn kết quả đúng:

Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:

Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaaG4maiaadIhacaGGUaGaamyzamaaCaaaleqabaGa % aGOmaiaadIhaaaGccaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0 % Gaey4kIipaaaa!42D0! I = \int\limits_0^1 {3x.{e^{2x}}{\rm{d}}x}$

Tích phân $I=\int_{-2}^{2}\left|\frac{x^{2}-x-2}{x-1}\right| d x$ có giá trị là

Cho giá trị của tích phân $I_{1}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(\sin 2 x+\cos x) d x=a, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 x+\sin x) d x=b$. Giá trị của P=a + b là:

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

Cho hai hàm $f\left( x \right)$ và  $g\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left[ 1;4 \right]$, thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\ {g\left( x \right) = - xf'\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = - xg'\left( x \right)} \end{array}} \right.$ với mọi $x\in \left[ 1;4 \right]$ . Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$.

Biết rằng $\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in \mathbb{Z})$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính $I=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2 x+1}+3 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x$