Cho hai hàm \(f\left( x \right)\) và  \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ 1;4 \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\ {g\left( x \right) = - xf'\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = - xg'\left( x \right)} \end{array}} \right.\) với mọi \(x\in \left[ 1;4 \right]\) . Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Biết  \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaci4yaiaa % c+gacaGGZbGaaGOmaiaadIhacaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaam % aalaaabaGaeqiWdahabaGaaGinaaaaa0Gaey4kIipakiabg2da9maa % laaabaGaaGymaaqaaiaadggaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacqaHapaCae % aacaWGIbaaaaaa!4C8B! \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + x} \right)\cos 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{a} + \frac{\pi }{b}\) \((a, b \in Z^*)\). Giá trị của tích a.b bằng

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x+2}\), trục hoành và đường thẳng x = 2 là 

Tích phân \(I=\int_{-1}^{1}\left|x^{3}+x^{2}-x-1\right| d x\) có giá trị là:

Biết \(\mathop \smallint \nolimits_1^8 f\left( x \right)dx =  - 2,\mathop \smallint \nolimits_1^4 f\left( x \right)dx = 3,\mathop \smallint \nolimits_1^4 g\left( x \right)dx = 7\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Tích phân \(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{x+1}{x^{2}} d x\) có giá trị là

Đổi biến x = 2sint tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) trở thành:

Biết rằng \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 \ln \left( {x + 1} \right)dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\)  với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c.

Cho hàm số f (x) liên tục trên \([0 ; 1] \text { và } f(1)-f(0)=2\). Tính \(\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? 

Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\).

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\int_{0}^{2} f(x) d x=6\) . Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{\pi / 2} f(2 \sin x) \cos x d x\)  là
 

Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 6 x^{2} & \text { khi } \quad x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } \quad x \geq 0 \end{array}\right. \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên a để \(I+22 \geq 0 ?\)

Cho \(\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5, \int\limits_2^{ – 1} {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\). Khi đó \(\int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Giá trị của tích phân: \(I=\int\limits_{0}^{4} \frac{x+1}{(1+\sqrt{1+2 x})^{2}} d x\) là
 

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\), trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Cho tích phân \( \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{cosx + 2}}d{\rm{x}} = a\ln 5 + b\ln 2\) với a,b ∈Z.  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nếu \(\int_{1}^{3}[f(x)-2 x] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }\)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=\frac{1}{3}\) và \(f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\)  với mọi \(x \in[0 ; 1]\).Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0 ; x=1\)

Tính \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x d x\)