Cho hai hàm \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ 1;4 \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\ {g\left( x \right) = - xf'\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = - xg'\left( x \right)} \end{array}} \right.\) với mọi \(x\in \left[ 1;4 \right]\) . Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta có \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=-x.{f}'\left( x \right)-x.{g}'\left( x \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right) \right]+\left[ g\left( x \right)+x.{g}'\left( x \right) \right]=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}+{{\left[ x.g\left( x \right) \right]}^{\prime }}=0\)
\(\Rightarrow x.f\left( x \right)+x.g\left( x \right)=C\Rightarrow f\left( x \right)+g\left( x \right)=\frac{C}{x}\)
Mà \(f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=4\Rightarrow C=4\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]}\,dx=\int\limits_{1}^{4}{\frac{4}{x}}\,dx=8\ln 2\) .