Đổi biến x = 2sint tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) trở thành:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\\ f\left( 2 \right) = a + b\ln 3;\,\,a,\,b \in Q\\ x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x \end{array} \right.\).

Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R} \text { và } 3 f(-x)-2 f(x)=\tan ^{2} x . \operatorname{Tính} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x\)

Tính tích phân sau \(B = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {x^3}{\left( {{x^4} - 1} \right)^5}dx\)

Cho \(\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3\) . Tính tích phân \(I=\int_{-2}^{1}[2 f(x)-1] \mathrm{d} x\)

Giá trị tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin 2 x}} d x\)  là
 

Tích phân \(I=\int_{0}^{1}\left(\frac{a x}{x+1}-2 a x\right) d x\) có giá trị là

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ; x = 4 là

Cho \(\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5, \int\limits_2^{ – 1} {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\). Khi đó \(\int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Biết\(\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2)(x+4)}=a \ln 2+b \ln 5+c \ln 7,(a, b, c \in \mathbb{Q})\). Giá trị của biểu thức bằng 2a+3b-c

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\), trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Tích phân \(\int_{1}^{e}(2 x-5) \ln x d x\) bằng
 

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x=1 là:
 

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{2 x} d x}{e^{x}-1+\sqrt{e^{x}-2}}\) là

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ℝ . Biết \(f^{6}(x) \cdot f^{\prime}(x)=12 x+13 \text { và } f(0)=2\) . Khi đó phương trình \(f(x)=3\) có bao nhiêu nghiệm? 

Tính: \(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)

Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn \(g(x)=1+2018 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { và } g(x)=f^{2}(x)\) . Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)

Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)

Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên \(\left[0, \frac{\pi}{3}\right]\) , đồng thời thỏa mãn \(f^{\prime}(0)=0 ; f(0)=1 \text { và } f^{\prime \prime}(x) \cdot f(x)+\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]^{2}=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\). Tính \(T=f\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

 Biết \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}dx = a\ln \sqrt {12}  + b\ln \sqrt 7 \), với a, b là các số nguyên. Tổng  a + b là :

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {\left( {x + 1} \right)^2}dx\) bằng