Biết rằng  \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)\). Mệnh đề nào sau đây đúng
 

Cho các số thực a, b và các mệnh đề:

\(1.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx\)

\(2.\mathop \smallint \nolimits_a^b 2f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx\)

\(3.\mathop \smallint \nolimits_a^b {f^2}\left( x \right)dx = {\left[ {\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx} \right]^2}\)

\(4.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( u \right)du\)

Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là:

Để tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamytaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaaabaGaaGimaaqaaiaaig % daa0Gaey4kIipaaaa!41A8! M = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){2^x}} \) bằng phương pháp tích phân từng phần ta đặt u = x + 1 và \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeizaabaaa % aaaaaapeGaamODaiabg2da9iaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaGc % caWGKbGaamiEaaaa!3CD2! {\rm{d}}v = {2^x}dx\). Tìm du và tính M

Kết quả \(I=\int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} d x\) là 

Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3} x^{2}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^{2}} \quad(\text { vói } 0 \leq x \leq 2)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng

Tích phân \(I=\int_{\frac{5}{2}}^{3} \sqrt{(x-1)(3-x)} d x\) có giá trị là:

Tích phân\(\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \cos \left(3 x-\frac{2 \pi}{3}\right) d x\) có giá trị là

Cho a là một số dương lớn hơn 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho hàm số f(x) thỏa mãn  \(f(2)=-\frac{2}{9}\)và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của f(1) bằng 

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{3} \frac{x-3}{3 \cdot \sqrt{x+1}+x+3} d x\) là

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{4}-3 x^{2}-4\) trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 3}\\ {2x - 1}&{{\rm{ khi }}x < 3} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{0}^{2}{xf\left( {{x}^{2}}+1 \right)}dx\) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(x+f^{3}(x)+2 f(x)=1, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I=\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Biết tích phân\(\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x+1}+\sqrt{2 x+1}} \mathrm{d} x=\frac{a+b \sqrt{3}}{9} \text { với } a, b\) là các số thực. Tính tổng T=a+b

Tập hợp các giá trị của b sao cho \(\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5} \) là:

Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y=x^{3} \sin ^{5} x\) trên khoảng \((0 ;+\infty)\) . Khi đó tích phân \(\int_{1}^{2} 81 x^{3} \sin ^{5} 3 x d x\) có giá trị bằn

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2 \cos 2 x}\) . Tính \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\)

Nếu \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaamyzamaaCaaaleqabaGaamiEaaaakiaabsgacaWG4baaleaa % caaIWaaabaGaamyyaaqdcqGHRiI8aOGaeyypa0JaaGymaaaa!40C7! \int\limits_0^a {x{e^x}{\rm{d}}x} = 1\) thì giá trị của a bằng bao nhiêu 

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và\(f(x)+f(-x)=\cos ^{4} x\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\)
 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³−x và đồ thị hàm số y = x−x²

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là