Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ ,\(f(0)=0 \text { và } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \text { với } \forall x \in \mathbb{R}\) . Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x\) bằng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x d x=\frac{1}{2}\\ &\text { Đặt } u=\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow d u=-d x\\ &\text { Với } x=0 \Rightarrow u=\frac{\pi}{2} ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow u=0\\ &\text { Suy ra } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) d u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x, \text { thay vào }\left(^{*}\right) \text { ta được }\\ &2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\frac{1}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=f^{\prime}(x) d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d x \\ v=f(x) \end{array}\right.\right.\\ &\Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x=\left.x f(x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\frac{\pi}{2} f\left(\frac{\pi}{2}\right)-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\left(^{*}\right)\\ &\text { Từ điều kiện } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \text { suy ra }\\ &\left\{\begin{array}{l} f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f(0)=0 \\ f(0)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \end{array} \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\right.\\ &\text { Thay }(1),(2) \text { vào }\left(^{*}\right), \text { ta được } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x=-\frac{1}{4} \end{aligned}\)
