Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y\; = \;\left( {e\; + \;1} \right)x\) và \(y = {(1 + ex)^x}\) là:

Cho tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2-x) \sin x d x\). Đặt \(u=2-x, d v=\sin x d x\) thì I bằng

Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=\tan x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=0, x=a \text { với } a \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{x}{4}, y=0, x=1, x=4\) quay quanh trục Ox bằng
 

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x − x²; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?

\(\begin{equation} \text { Biết } \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{3} \text { và } \end{equation}\) \(\begin{equation} \int_{0}^{1} g(x) d x=\frac{4}{3} . \text { Khi đó } \int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \text { bằng } \end{equation}\)

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu \(\int_{1}^{5} f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{3} f(x) d x=7 \text { thì } \int_{3}^{5} f(x) d x\) có giá trị bằng

Biết rằng \(\mathop \int \nolimits_0^1 3{e^{\sqrt {1 + 3x} }}dx = \frac{a}{5}{e^2} + \frac{b}{3}e + c\left( {a,b,c, \in Z} \right)\). Tính \(T = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}\)

Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\). Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng 

Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx\)

Giá trị của \(I=\int\limits_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\) là:

\(\text { Nếu } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3 \text { và } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=7\)\(\text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }\)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = e^x\) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, \(\left( {a;\;b \in R} \right)\). Giá trị \(I = \mathop \smallint \nolimits_{2017}^{2016} 2015f'\left( x \right).{f^{2014}}\left( x \right)dx\) bằng:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\; = \;10\) và 2f(1) – f(0) = 2. Tính \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx\)

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \frac{{\rm{\pi }}}{6};\;x = \;\frac{{\rm{\pi }}}{4}\) là

Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 4] đồng biến trên đoạn [1 ; 4] và thỏa mãn đẳng thức \(x+2 x \cdot f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4]\). Biết rằng \(f(1)=\frac{3}{2}\) . Tính \(I=\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x ?\)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14\) . Tính \(\int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x\)

Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}} d x\) là

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn  \(f(x)=\frac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x}\) . Tính tích phân \(I=\int_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x\)

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}\) và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy