Biết \(\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+1}+(x+1) \sqrt{x}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c} \text { với } a, b, c\) là các số nguyên dương. Giá trị của \(P=a+b+c\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I=\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+1}+(x+1) \sqrt{x}}=\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x+1)}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}\)
Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{x+1} \Rightarrow \mathrm{d} t=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2 \sqrt{x(x+1)}} \mathrm{d} x \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x+1)}}=2 \frac{\mathrm{d} t}{t}\)
Đổi cận: \(x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}+1, x=2\Rightarrow t=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I=\int\limits_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x(x+1)}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}=2 \int\limits_{\sqrt{2}+1}^{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \frac{d t}{t^{2}}=-\left.2 \frac{1}{t}\right|_{\sqrt{2}+1} ^{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=-2\left(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right) \\ =4 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}-2=\sqrt{32}-\sqrt{12}-\sqrt{4} \Rightarrow a=32, b=12, c=4 \end{array}\)
Vậy \(P=a+b+c=48\)
