Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} d x\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=\tan t \Rightarrow d x=\left(1+\tan ^{2} t\right) d t\) .
Đổi biến: \(x=0 \Rightarrow t=0, x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln (1+\tan t)}{1+\tan ^{2} t}\left(1+\tan ^{2} t\right) d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan t) d t\)
Đặt \(t=\frac{\pi}{4}-u \Rightarrow d t=-d u\); Đổi cận: \(t=0 \Rightarrow u=\frac{\pi}{4}, \mathrm{t}=\frac{\pi}{4} \Rightarrow u=0\)
Khi đó
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan t) d t=-\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{0} \ln \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-u\right)\right] d u \\ =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right) d u=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(\frac{2}{1+\tan u}\right) d u=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln 2 d u-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan u) d u=\frac{\pi}{4} \ln 2-I \end{array}\)
Vậy \(I=\frac{\pi}{8} \ln 2\)
