Biết I=∫π0xsin2020xsin2020x+cos2020xdx=πab+c,(a,b,c∈Z+).I=∫π0xsin2020xsin2020x+cos2020xdx=πab+c,(a,b,c∈Z+). Tính P = a.b.c
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt t=π–x⇒dt=–dxt=π–x⇒dt=–dx. Đổi cận x=0⇒t=π,x=π⇒t=0x=0⇒t=π,x=π⇒t=0.
I=–∫0π(π–t)sin2020tsin2020t+cos2020tdt=∫π0πsin2020tsin2020t+cos2020tdt–I⇒I=π2∫π0sin2020tsin2020t+cos2020tdtI=–∫0π(π–t)sin2020tsin2020t+cos2020tdt=∫π0πsin2020tsin2020t+cos2020tdt–I⇒I=π2∫π0sin2020tsin2020t+cos2020tdt.
Đặt u=π2–t⇒du=–dtu=π2–t⇒du=–dt. Đổi cận t=0⇒u=π2,t=π⇒u=–π2t=0⇒u=π2,t=π⇒u=–π2.
I=π2∫π0sin2020tsin2020t+cos2020tdt=π2∫π2–π2cos2020usin2020u+cos2020uduI=π2∫π0sin2020tsin2020t+cos2020tdt=π2∫π2–π2cos2020usin2020u+cos2020udu
Vì f(u)=cos2020usin2020u+cos2020uf(u)=cos2020usin2020u+cos2020u là hàm số chẵn, liên tục trên [–π2;π2][–π2;π2]
Nên I=π2∫π2–π2cos2020usin2020u+cos2020udu=π∫π20cos2020usin2020u+cos2020uduI=π2∫π2–π2cos2020usin2020u+cos2020udu=π∫π20cos2020usin2020u+cos2020udu.
Xét J=π∫π20sin2020tsin2020t+cos2020tdtJ=π∫π20sin2020tsin2020t+cos2020tdt .
Ta có: I+J=π∫π20dt=π22I+J=π∫π20dt=π22 .
Mặt khác: I=π∫π20cos2020usin2020u+cos2020udu=π∫π20sin2020tsin2020t+cos2020tdt=JI=π∫π20cos2020usin2020u+cos2020udu=π∫π20sin2020tsin2020t+cos2020tdt=J( dễ dàng suy ra được thông qua phép đổi biến t=π2–u ).
⇒I=J=π24.
Vậy abc = 0 .