Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan \,x} \right)} {\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = \tan \,x;{\rm{d}}t = \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x;{\rm{d}}x = \frac{{{\rm{d}}t}}{{{t^2} + 1}}\) và đổi cận
Ta được \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan \,x} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2} + 1}}} {\rm{d}}t = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 4;\)
\(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 4 + 2 = 6\).
