Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=\frac{1}{3}\) và \(f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\) với mọi \(x \in[0 ; 1]\).Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0 ; x=1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có } f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2} \Rightarrow \frac{f(x)-f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=1 \Rightarrow \frac{e^{x} f(x)-e^{x} f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=e^{x} \\ \Rightarrow\frac{\left(e^{x}\right)^{\prime} f(x)-e^{x} f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=e^{x} \Rightarrow\left[\frac{e^{x}}{f(x)}\right]^{\prime}=e^{x} \Rightarrow \frac{e^{x}}{f(x)}=\int e^{x} d x=e^{x}+C \\ \text { Lại có } f(0)=\frac{1}{3} \Rightarrow C=2 \Rightarrow \frac{e^{x}}{f(x)}=e^{x}+2 \Rightarrow f(x)=\frac{e^{x}}{2+e^{x}} \\ \text { Do đó } S=\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{2+e^{x}} d x=\left.\ln \left(2+e^{x}\right)\right|_{0} ^{\ln 2}=\ln 4-\ln 3=\ln \frac{4}{3} \end{array}\)
