Biết rằng $\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$ trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn $\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0$ và $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1$.Tích phân $I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x}$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Tích phân $I=\int_{-2}^{2}\left|\frac{x^{2}-x-2}{x-1}\right| d x$ có giá trị là

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ 2x - 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)}\cos 2x\text{d}x$.

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi} x^{2} \cos 2 x \mathrm{d} x$ bằng cách đặt  $\left\{\begin{array}{l} u=x^{2} \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường $y=e^{x}, y=0, x=0, x=\ln 8$. Đường thẳng $x=k(0<k<\ln 8)$ chia (H ) thành hai phần có diện tích là $S_{1}\, và\, S_{2}$. Tìm k để $S_{1}=S_{2}$

 Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = (1 − x²), y = 0, x = 0 và x = 1 khi quay quanh trục Ox bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R} \text { và } 3 f(-x)-2 f(x)=\tan ^{2} x . \operatorname{Tính} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x$

Tích phân $\int_{1}^{e}(2 x-5) \ln x d x$ bằng
 

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = 6; $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaaikdacaWG4bGaeyOeI0IaaGOmaaGaayjkaiaawMcaaiaa % c6caceWGMbGbauaadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacaqGKb % GaamiEaiabg2da9iaaiAdaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIi % Ydaaaa!4696! \int\limits_0^1 {\left( {2x - 2} \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x = 6}$, . Tích phân $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qmaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhaaSqa % aiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!3EE7! \int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3$. Diện tích của (H) bằng

Cho hàm số $y=f(x)>0$ xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn $g(x)=1+2018 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { và } g(x)=f^{2}(x)$ . Tính $\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x$

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn $\mathop \smallint \nolimits_0^{10} f\left( x \right)dx = 7,\mathop \smallint \nolimits_2^6 f\left( x \right)dx = 3$. Tính $P = \mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_6^{10} f\left( x \right)dx$

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + 2x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {5 - x}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.$. Khi đó $I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx$ bằng

Cho $\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$. Tính $\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + {{\sin }^{2021}}x} \right]{\rm{d}}x}$

Tích phân $I=\int_{1}^{2} \frac{a x-2}{\sqrt{a x^{2}-4 x}} d x=2 \sqrt{3}-1$. Giá trị nguyên của a là:

 Cho hàm số f x   liên tục không âm trên $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ , thỏa mãn $f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \text { với mọi } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ và $f(0)=\sqrt{3}$ . Giá trị của $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ bằng
 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y\; = \;x\; + \frac{1}{x}$, trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và $y\; = \sqrt {\;x} \sin x$ với (0 ≤ x ≤ π) là: