Cho hàm số f x   liên tục không âm trên $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ , thỏa mãn $f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \text { với mọi } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ và $f(0)=\sqrt{3}$ . Giá trị của $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ bằng
 

Tích phân $I=\int_{-1}^{0} \frac{2 x}{x^{2}+1} d x$ có giá trị là:

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $K, a, b \in K$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^0 \frac{{\cos x}}{{2 + \sin x}}dx$ có giá trị là:

Biết $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx =  - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng  

 Xét hàm số f(x) liên tục trên[-1;2] và thỏa mãn $f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}$ . Tính giá trị của tích phân $I=\int_{-1}^{2} f(x) d x$
 

Tính $\displaystyle  \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx}$

Xét tích phân $I=\int_{0}^{\pi / 3} \frac{\sin 2 x}{1+\cos x} d x$ . Thực hiện phép đổi biến $t=\cos x$, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

Tính tích phân sau $D = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \sqrt {4 - {x^2}} xdx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-ln 2;ln2] và thõa mãn $f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}$Biết $\int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3, \text { vói } a, b \in \mathbb{Q}$ . Tính giá trị của P=a+b.

Giá trị của $\mathop \smallint \nolimits_0^2 2{e^{2x}}dx$ là:

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi} x^{2} \cos 2 x \mathrm{d} x$ bằng cách đặt  $\left\{\begin{array}{l} u=x^{2} \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tích phân $\int\limits_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos ^{2} x d x$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{2}{x+1} & \text { khi } & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x-1 & \text { khi } & 1 \leq x \leq 3 \end{array}\right.$. Tính $\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x$

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^{2}+x-2$ và trục hoành bằng
 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa $\int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 5} – x} \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = 3.$ Tính $\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Giá trị của tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 4 x}{\sqrt{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}} d x$ là

Tính tích phân sau: $I = \mathop \smallint \nolimits_{\sqrt 3 }^{2\sqrt 2 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}dx$

Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, có công thức là:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên ℝ và $f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$. Tính $I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x$

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^4 \left| {x - 2} \right|dx$ bằng: