Cho hàm số f x liên tục không âm trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) , thỏa mãn \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \text { với mọi } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) và \(f(0)=\sqrt{3}\) . Giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right] \text { ta có } f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \Rightarrow \frac{2 f(x) \cdot f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{1+f^{2}(x)}}=\cos x(*)\)
\(\begin{aligned} &\text { Suy ra } \sqrt{1+f^{2}(x)}=\sin x+C\\ &\text { Ta có } f(0)=\sqrt{3} \Rightarrow C=2, \text { dẫn đến } f(x)=\sqrt{(\sin x+2)^{2}-1} \text { . Vậy } f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \sqrt{2} \text { . } \end{aligned}\)
