Tính tích phân sau $D = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \sqrt {4 - {x^2}} xdx$

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn$f^{\prime}(x) \cdot f(x)=x^{4}+x^{2}$ . Biết $f(0)=2$. Tính $f^{2}(2)$?

Cho giá trị của tích phân $I_{1}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(\sin 2 x+\cos x) d x=a, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 x+\sin x) d x=b$. Giá trị của P=a + b là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=\sin x, y=\cos x$ và các đường thẳng x = 0 , x = π bằng ?

Tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{x d x}{(x+1)^{3}}$ bằng

Cho $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2$ . Tính $I=\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ bằng 

Cho hai tích phân $\int_{-\pi}^{a} f(x) d x=m \text { và } \int_{-\pi}^{a} g(x) d x=n$ . Giá trị của tích phân $\int_{-a}^{a}[f(x)-g(x)] d x$ là:

Tính $I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}$

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} - x - 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 11 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{f\left( 2+\ln x \right)}\frac{1}{x}\text{d}x$.

Tính tích phân $I=\int_{1}^{3} x(x-1)^{1000} d x$
 

Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x}$ bằng:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x} \ln x$, trục hoành và đường thẳng x = e bằng

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường$y=\ln (x+1)$ , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
 

Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x$ là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết $\int_{0}^{x^{2}} f(t) d t=e^{x^{2}}+x^{4}-1 \text { với } \forall x \in \mathbb{R}$  với $\forall x \in \mathbb{R}$. Giá trị của f (4) là: 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}}$ và $\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2},f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0,f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $f\left( -4 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2; 3). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (-2; 3). Tính $I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx}$, biết F(-1) = 1, F(2) = 4.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường$y=x^{2}, y=0, x=0, x=4$ . Đường thẳng $y=k(0<k<16)$ chia  hình thành hai  phần có diện tích $S_{1}, S_{2}$ , (hình vẽ). Tìm k để $S_{1}=S_{2}$

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị$y=x^{2}-4 x+6 \text { và } y=-x^{2}-2 x+6$

$\begin{equation} \text { Biết } \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{3} \text { và } \end{equation}$ $\begin{equation} \int_{0}^{1} g(x) d x=\frac{4}{3} . \text { Khi đó } \int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \text { bằng } \end{equation}$