Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t{\rm{d}}t\). Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 1 \Rightarrow t = 1\)
Suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\). Do đó \( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{5}\)
Mặt khác \(\int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2} – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2} – \frac{1}{5} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{5}\)
Ta tính được \(\int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{9}{5}\).
Do đó \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x – 2\int\limits_0^1 {3{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f’\left( x \right) – 3{x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = 0\)
\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) – 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^3} + C\).
Vì \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Vậy $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{x^3}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}$.
