Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( {{x}^{3}}+3x+1 \right)=3x+2\), với mọi \(x\in \mathbb{R}\).Tích phân \(\int\limits_{1}^{5}{x{f}'\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta có \(f\left( {{x}^{3}}+3x+1 \right)=3x+2\) nên suy ra \(f\left( 1 \right)=2\), \(f\left( 5 \right)=5\).
Suy ra \(I=\int\limits_{1}^{5}{x{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. xf\left( x \right) \right|_{1}^{5}-\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=23-\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
Đặt \(x={{t}^{3}}+3t+1\Rightarrow \text{d}x=\left( 3{{t}^{2}}+3 \right)\text{d}t\).
Với \(x=1\Rightarrow t=0;x=5\Rightarrow t=1\)
Do đó \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{t}^{3}}+3t+1 \right)\left( 3{{t}^{2}}+3 \right)\text{d}t=}\int\limits_{0}^{1}{\left( 3t+2 \right)\left( 3{{t}^{2}}+3 \right)\text{d}t=}\frac{59}{4}\).
Vậy \(I=23-\frac{59}{4}=\frac{33}{4}\).
