Nếu \(\int_{2}^{3} \frac{x+2}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 3+3 \ln 2(a, b \in \mathbb{Q})\) thì giá trị của P=2a-b là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \int_{2}^{3} \frac{x+2}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d} x+\frac{11}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d} x \\ =\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d}\left(2 x^{2}-3 x+1\right)+\frac{11}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{(x-1)(2 x-1)} \mathrm{d} x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} =\left.\frac{1}{4} \ln \left|2 x^{2}-3 x+1\right|\right|_{2} ^{3}+\frac{11}{4} \int_{2}^{3}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{2 x-1}\right) \mathrm{d} x \\ =\left.\frac{1}{4} \ln \left|2 x^{2}-3 x+1\right|\right|_{2} ^{3}+\left.\frac{11}{4} \ln \left|\frac{x-1}{2 x-1}\right|\right|_{2} ^{3}=\frac{1}{4}(\ln 10-\ln 3)+\frac{11}{4}\left(\ln \frac{2}{5}-\ln \frac{1}{3}\right) \end{array}\)
\(=\frac{1}{4} \ln \frac{10}{3}+\frac{11}{4} \ln \frac{6}{5}=\frac{1}{4}(\ln 5+\ln 2-\ln 3)+\frac{11}{4}(\ln 2+\ln 3-\ln 5)\)
\(=-\frac{5}{2} \ln 5+\frac{5}{2} \ln 3+3 \ln 2\)
Khi đó \(a=-\frac{5}{2}, b=\frac{5}{2}\Rightarrow P=-\frac{15}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – 2} \right]{\rm{d}}x} \).
-
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x=1 là:
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa \(f(-x)+2 f(x)=\cos x\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) là
-
Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) với trục hoành.
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \cdot \operatorname{Tính} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a}{\sqrt{3 x^{2}+12}} d x\) có giá trị là:
-
Tích phân \(\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} \) có giá trị là:
-
Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường \(y=e^{x}, y=0, x=0, x=\ln 8\). Đường thẳng \(x=k(0<k<\ln 8)\) chia (H ) thành hai phần có diện tích là \(S_{1}\, và\, S_{2}\). Tìm k để \(S_{1}=S_{2}\)
-
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1)=0 và \(f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)-x^{2}-1}=2 x, \forall x \in[0 ; 1]\). Giá trị của \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) bằng ?
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x\) có giá trị là:
-
\(\begin{equation} \text { Cho } \int_{-1}^{1}\left[5 f(x)+x^{2021}+x\right] \mathrm{d} x=20 \end{equation}\). \(\begin{equation} \text { Tính } \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. } \end{equation}\)
-
Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y=x^{3} \sin ^{5} x\) trên khoảng \((0 ;+\infty)\) . Khi đó tích phân \(\int_{1}^{2} 81 x^{3} \sin ^{5} 3 x d x\) có giá trị bằn
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn \(f(1)=-\frac{1}{2}\) và \(f(x)+x f^{\prime}(x)=\left(2 x^{3}+x^{2}\right) f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]\). Giá trị của tích phân \(\int_{1}^{2} x f(x) d x\) bằng
-
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x \mathrm{e}^{x}, y=0\) , x = 0 , x =1 xung quanh trục Ox là
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \frac{{dx}}{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right]\) với mọi x dương. Biết \(f(1)=f^{\prime}(1)=1\) . Giá trị \(f^{2}(2)\) bằng
-
Tính tích phân sau: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{x^2} - 1} \right|dx\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x\) có giá trị là:
-
Biết \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x\) là
