Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,\,{\rm{khi}}\;x \le 3\\ 7 - 5x\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 3 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( 3{{e}^{x}}-1 \right)}{{\text{e}}^{x}}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( 3{{e}^{x}}-1 \right){{e}^{x}}\text{d}x}\)
Đặt \(3{{e}^{x}}-1=t\)\(\Rightarrow 3{{e}^{x}}\text{d}x=\text{d}t\Rightarrow {{e}^{x}}\text{d}x=\frac{1}{3}\text{d}t\)
Với \(x=0\)\(\Rightarrow \)\(t=2\)
\(x=\ln 2\)\(\Rightarrow \)\(t=5\)
\(\Rightarrow \)\(I=\frac{1}{3}\int\limits_{2}^{5}{f\left( t \right)\text{d}t}=\frac{1}{3}\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}+\frac{1}{3}\int\limits_{3}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{3}\int\limits_{2}^{3}{\left( 1-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\frac{1}{3}\int\limits_{3}^{5}{(7-5x)\text{d}x}=-\frac{94}{9}.\)
