Tính tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx$

Tích phân $I=\int_{2}^{a}\left(\frac{1}{x^{2}}+2 x\right) d x$ có giá trị là: 

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[-\ln 2 ; \ln 2]$ và thỏa mãn $f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}$. Biết $\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3(a ; b \in \mathbb{Q}) \text { . Tính } P=a+b \text { . }$

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\ {x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 2} \end{array}} \right.$. Khi đó $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) > 0 và f(x)f(a – x) = 1. Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_0^a \frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}$

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \text { thỏa mãn } f\left(\frac{\pi}{4}\right)=3, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(x)}{\cos x} \mathrm{~d} x=1$ và $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\sin x \cdot \tan x \cdot f(x)] \mathrm{d} x=2$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot f^{\prime}(x) d x$ bằng: 

Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn $\int_{0}^{1} f(x) d x=3$, $\int_{0}^{2}[f(x)-3 g(x)] d x=4 \text { và } \int_{0}^{2}[2 f(x)+g(x)] d x=8$. $\text { Tính } \int_{1}^{2} f(x) d x$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):\;y = {x^2} + 3$, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng 

Biết tích phân$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x+1}+\sqrt{2 x+1}} \mathrm{d} x=\frac{a+b \sqrt{3}}{9} \text { với } a, b$ là các số thực. Tính tổng T=a+b

Biết $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx =  - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng  

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}$, trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Tính tích phân $I=\int_{1}^{20018} \frac{\mathrm{d} x}{x}$

Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWG4baa % aOGaaeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!4161! I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}{\rm{d}}x}$

Giả sử $\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = 2\;,\;\mathop \smallint \nolimits_c^b f\left( x \right)dx = 3\;$ và a < b < c thì $\mathop \smallint \nolimits_a^c f\left( x \right)dx$ bằng bao nhiêu ?

Tính tích phân $\int_{1}^{5} \frac{d x}{x \sqrt{3 x+1}}$được kết quả là $I=a \ln 3+b \ln 5$. Giá trị của $a^{2}+a b+3 b^{2}$ là:

Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho $\int_{1}^{5} f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{5} g(x) d x=-4$. Giá trị $\int_{1}^{5}[g(x)-f(x)] d x$  là
 

Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \cdot \operatorname{Tính} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right):\,y = \sqrt x ;\;d:\;y = \frac{1}{2}x$. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Cho hàm số$y=\pi^{x}$ có đồ thị (C). Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 2 , x = 3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức:

Cho $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2$ . Tính $I=\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ bằng