Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm và liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \text { thỏa mãn } f\left(\frac{\pi}{4}\right)=3, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(x)}{\cos x} \mathrm{~d} x=1\) và \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\sin x \cdot \tan x \cdot f(x)] \mathrm{d} x=2\) . Tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot f^{\prime}(x) d x\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có: } I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \text { . Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=\sin x \\ \mathrm{~d} v=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\cos x \mathrm{~d} x \\ v=f(x) \end{array}\right.\right. \\ \begin{array}{l} I=\sin x .\left.f(x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \cdot f(x) \mathrm{d} x=\frac{3 \sqrt{2}}{2}-I_{1} \end{array} \\ \begin{array}{l} 2=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\sin x \cdot \tan x \cdot f(x)] \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\sin ^{2} x \cdot \frac{f(x)}{\cos x}\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\left(1-\cos ^{2} x\right) \cdot \frac{f(x)}{\cos x}\right] \mathrm{d} x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right] \mathrm{d} x-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \cdot f(x) \mathrm{d} x=1-I_{1} \end{array} \\ \Rightarrow I_{1}=-1 \Rightarrow I=\frac{3 \sqrt{2}}{2}+1=\frac{3 \sqrt{2}+2}{2} \end{array}\)
