Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({f\left( x \right)={{x}^{3}}-x}\) ta có bảng xét dấu sau:
Dựa vào bảng xét dấu ta có.
\({\forall x\in \left[ 0;1 \right],f\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x\le 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\le x\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}=x}\).
\({\forall x\in \left[ 1;2 \right],f\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\ge x\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}={{x}^{3}}}\).
Ta có: \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x =\int\limits_{0}^{1}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\).
Nên \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\)\(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{x}\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{3}}}\text{d}x=\left. \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right|_{0}^{1}+\left. \frac{1}{4}{{x}^{4}} \right|_{1}^{2}=\frac{17}{4}\).
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=2 x^{3}-3 x^{2}+1\) và \(y=x^{3}-4 x^{2}+2 x+1\) là:
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)
-
Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
\(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)=2 x[1+f(x)], \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của \(\int_{0}^{1} 2 x f(x) d x\) bằng? -
Biết \(I=\int_{0}^{1}(2 x+3) e^{x} \mathrm{d} x=a e+b, \text { với } a, b\) là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên[-1;2] và thỏa mãn \(f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) d x\)
-
Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \mathrm{d} x\)
-
Tích phân \(I=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-2x\right| d x\) có giá trị là:
-
Cho \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\). Tính \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + {{\sin }^{2021}}x} \right]{\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn\((C): x^{2}+(y-3)^{2}=1\) xung quanh trục hoành là
-
Nếu \(\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\) thì \(\int_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{3}{\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hàm sốy=f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn điều kiện \(f(1)=1 \) và \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} f(x), \forall x \in[1 ; 2]\) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2 quay quanh trục hoành
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x\) có giá trị là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right)\) với \(\forall x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \)?
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn \(f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\).Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
-
Tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x) d x\) 1có giá trị là:
-
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành, quanh trục hoành.
-
Cho parabol (P): y = x2+m. Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) qua O có hệ số góc k > 0. Xác định m để khi cho Oy quay quanh hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Oy có thể tích bằng 6π.
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}-1\), trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
