Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({f\left( x \right)={{x}^{3}}-x}\) ta có bảng xét dấu sau:
Dựa vào bảng xét dấu ta có.
\({\forall x\in \left[ 0;1 \right],f\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x\le 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\le x\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}=x}\).
\({\forall x\in \left[ 1;2 \right],f\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\ge x\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}={{x}^{3}}}\).
Ta có: \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x =\int\limits_{0}^{1}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\).
Nên \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\)\(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{x}\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{3}}}\text{d}x=\left. \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right|_{0}^{1}+\left. \frac{1}{4}{{x}^{4}} \right|_{1}^{2}=\frac{17}{4}\).
