Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : \(y=f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} ; y=g(x)=\frac{x^{2}}{2}\).Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng \(T=m \pi^{2}+n \pi ; \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R}\) thì tổng giá trị m + n là ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét phương trình \(\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.\)
Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức:
\(V=\pi \int_{-1}^{1}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| d x\)
\(V=\pi \int\limits_{-1}^{1}\left|\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{2}-\frac{x^{4}}{4}\right| d x=\pi\left|\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x-\int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{4} d x\right| \pi\left|\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x-\frac{x^{5}}{20}\right|_{-1}^{1}|=\pi| \int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x-\frac{1}{10} \mid\)
\(V=\pi\left|I-\frac{1}{10}\right| \text { với } I=\int_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x\)
Tính I:
Đặt \(x=\tan t, t \in\left(\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) d x=\frac{1}{\cos ^{2} t} d t=\left(1+\tan ^{2} t\right) d t\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan ^{2} t}{\left(1+\tan ^{2} t\right)^{2}} d t=\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2} t d t=\frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 2 t) d t \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} V=\pi\left|\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\right|=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{2 \pi}{5} \end{array}\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{4},n=\frac{2}{5}\Rightarrow m+n=\frac{13}{20}\)
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:
-
Biết \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % WcaaqaaiGacYgacaGGUbGaamiEaaqaamaakaaabaGaamiEaaWcbeaa % aaGccaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGymaaqaaiaadwgaa0Gaey4kIipaki % abg2da9iaadggadaGcaaqaaiaadwgaaSqabaGccqGHRaWkcaWGIbaa % aa!44C6! \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} = a\sqrt e + b\) với a, b thuộc Z . Tính P = ab
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}+2, x=1, x=2, y=0\)
-
Đổi biến x = 2sint thì tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}\)trở thành:
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - x + 3\) và y = 2x + 1 là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0, \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7\) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right]\) với mọi x dương. Biết \(f(1)=f^{\prime}(1)=1\) . Giá trị \(f^{2}(2)\) bằng
-
Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x, y=\frac{1-x}{x}, y=0\) (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).
-
Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1, \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 3\). Khi đó, \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Tính \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^{2}-1} ; f(-2)+f(2)=0\) và \(f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=0\).Tính \(f(-2)+f(0)+f(4)=0\)
được kết quả?
-
Cho tích phân \(\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-x} d x\) với cách đặt \(t=\sqrt[3]{1-x}\) thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau đây?
-
Cho \(I=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2\) . Giá trị của \(J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cdot f(\sqrt{3 \cos x+1})}{\sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{~d} x\)
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2{x^3} + 7{x^2} + 3x - 1}}{{2x + 1}}dx\)
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) là
-
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} \) bằng
-
Tính \(C = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {x^2}\cos xdx\)
-
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành, quanh trục hoành.
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(2)=-\frac{2}{9}\)và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của f(1) bằng
