ADMICRO
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = \(\frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3x} }}\) và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox
Chính xác
Xem lời giải
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
ZUNIA12
Lời giải:
Báo saiThể tích khối tròn xoay là V = \({\rm{\pi }}\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} } \right)}^2}}}d{\rm{x}}\)
Đặt \(t=\sqrt {4 - 3x} \), ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và x = \(\frac{{4 - {t^2}}}{3}\) nên dx = \(\frac{{2t}}{3}dt\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_2^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}.\frac{{ - 2t}}{3}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right)dt} \\
= \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {t + 1} \right| + \frac{1}{{t + 1}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \frac{3}{2} - \frac{1}{6}} \right) = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)
\end{array}\)
V = \pi \int\limits_2^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}.\frac{{ - 2t}}{3}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right)dt} \\
= \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {t + 1} \right| + \frac{1}{{t + 1}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \frac{3}{2} - \frac{1}{6}} \right) = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)
\end{array}\)
ZUNIA9
AANETWORK
