Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{e - 1} x\ln \left( {x + 1} \right)dx\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln \left( {x + 1} \right)}\\
{dv = xdx}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{{x + 1}}dx}\\
{v = \frac{{{x^2} - 1}}{2}}
\end{array}} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}
I = \mathop \smallint \nolimits_0^{e - 1} x\ln \left( {x + 1} \right)dx\;\\
= \left[ {\ln \left( {x + 1} \right)\frac{{{x^2} - 1}}{2}} \right]|_0^{e - 1} - \frac{1}{2}\mathop \smallint \nolimits_0^{e - 1} \left( {x - 1} \right)dx\; = \frac{{{e^2} - 2e + 2}}{2} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)|_0^{e - 1}\;\\
= \frac{{{e^2} - 2e + 2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{{{e^2} - 4e + 3}}{2} = \frac{{{e^2} + 1}}{4}
\end{array}\)
