Tích phân \(\int_{0}^{3} x(x-1) d x\) có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây?

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 3}\\ {\frac{1}{{x - 4}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 3} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{{{\text{e}}^{2}}}^{{{\text{e}}^{4}}}{\frac{f(\ln x)~}{x}\text{d}x}\) bằng:

Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(4 x f\left(x^{2}\right)+3 f(x-1)=\sqrt{1-x^{2}}\) . Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng 

Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{2}}^3 \frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {2x + 3} }}\). Đặt \(t = \sqrt {2x + 3} \) ta được \(I = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \frac{m}{{{t^2} + n}}dt\) (với m, n ∈ Z). Tính T = 3m + n

Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\sin x}\) có giá trị bằng
 

Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} – 1} dx} \) bằng cách đặt \(u = {x^2} – 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\ {x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{-2}^{1}{f(\sqrt[3]{1-x})\text{d}x}=\frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó m-2n bằng:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right):\,y = \sqrt x ;\;d:\;y = \frac{1}{2}x\). Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^m \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx = \ln 2 - \frac{1}{2}\)

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{max}\left\{ \sin x,\cos x \right\}\text{d}x}\) bằng

Biết \(\mathop \smallint \nolimits_1^8 f\left( x \right)dx =  - 2,\mathop \smallint \nolimits_1^4 f\left( x \right)dx = 3,\mathop \smallint \nolimits_1^4 g\left( x \right)dx = 7\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Số nghiệm dương của phương trình \(: x^{3}+a x+2=0, \text { với } a=\int_{0}^{1} 2 x d x\)  với , a và b là các số hữu tỉ là

Nếu \(\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,\,\,\int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\) thì \(\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Tích phân \(I=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} d x\) có giá trị bằng

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường\(y=\ln (x+1)\) , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
 

Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin ^{2} x\right) \cos x d x\) kết quả là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} \) bằng

 Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y=\frac{1}{1+\sin 2 x} \text { với } \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} .\) Biết \(F(0)=1 \text { và } F(\pi)=0\)Tính giá trị của biểu thức \(P=F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)\)?

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^4 \frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx\)

Biết \(\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}+3 x+3}{x^{2}+2 x+1} \mathrm{d} x=a-\ln b \text { vói } a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a^{2}+b^{2}\)

Tích phân \(I=\int_{1}^{2}\left(x^{2}+\frac{x}{x+1}\right) d x\) có giá trị là