Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ 3 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{{{e}^{4}}}{f\left( \sqrt{4-\ln x} \right)}\frac{1}{x}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{4}}}{f\left( \sqrt{4-\ln x} \right)\frac{1}{x}\text{d}x}\)
Đặt \(\sqrt{4-\ln x}=t\Rightarrow 4-\ln x={{t}^{2}}\Rightarrow \frac{1}{x}\text{d}x=-2t\text{d}t\)
Với \(x=1\)\(\Rightarrow \)\(t=2\)
\(x={{e}^{4}}\)\(\Rightarrow \)\(t=0\)
\(\Rightarrow I=2\int\limits_{0}^{2}{t.f\left( t \right)\text{d}t}=2\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{1}{x.f(x)\text{d}x}+2\int\limits_{1}^{2}{x.f(x)\text{d}x}\)
\(=2\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1 \right)\text{d}x}+2\int\limits_{1}^{2}{x\left( 3-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\frac{11}{6}.\)
