Cho hàm số y=f(x) và thỏa mãn \(f(x)-8 x^{3} f\left(x^{4}\right)+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}=0\). Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{a-b \sqrt{2}}{c} \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{c} ; \frac{b}{c}\)tối giản. Tính a+b+c
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)-8 x^{3} f\left(x^{4}\right)+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}=0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) d x-2 \int_{0}^{1} 4 x^{3} f\left(x^{4}\right) d x+\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=0 \text { (*) }\\ &\text { Đặt } u=x^{4} \Rightarrow d u=4 x^{3} d x ; \text { Với } x=0 \Rightarrow u=0 \text { và } x=1 \Rightarrow u=1 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} 4 x^{3} f\left(x^{4}\right) d x=\int_{0}^{1} f(u) d u=\int_{0}^{1} f(x) d x \text { thay vào }\left(^{*}\right) \text { , ta được. }\\ &\int_{0}^{1} f(x) d x-2 \int_{0}^{1} f(x) d x+\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Đăt } t=\sqrt{x^{2}+1} \Rightarrow t^{2}=x^{2}+1 \Rightarrow t d t=x d x ; \text { Vói } x=0 \Rightarrow t=1 \text { và } x=1 \Rightarrow t=\sqrt{2} \text { . }\\ &\text { Khi đó: } \int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}} \cdot x d x=\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{t^{2}-1}{t} \cdot t d t=\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(t^{2}-1\right) d t=\left.\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right)\right|_{1} ^{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\\ &=\frac{a-b \sqrt{2}}{c}\\ &\text { Suy ra } a=2 ; b=1 ; c=3 \Rightarrow a+b+c=6 \text { . } \end{aligned}\)
