Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=0$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x=7}$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{3}}$. Tích  phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng

Cho hàm số y =f(x) thỏa mãn   $f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R} . \text { Tính } I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x$.

Biết $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}$. Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính $T=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số $y=x^{6} \sin ^{5} x$ trên khoảng $(0 ;+\infty)$. Khi đó $\int_{1}^{2} x^{6} \sin ^{5} x d x$ có giá trị bằng 

Số nghiệm dương của phương trình $: x^{3}+a x+2=0, \text { với } a=\int_{0}^{1} 2 x d x$  với , a và b là các số hữu tỉ là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {e^x};\;y = 2$ và đường thẳng x = 1

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} - x - 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 11 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{f\left( 2+\ln x \right)}\frac{1}{x}\text{d}x$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x}$

Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}} d x$ là

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và$f(x)+f(-x)=\cos ^{4} x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị của tích phân $I=\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x$
 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {(x - 6)^2}$ và $y = 6x - {x^2}$ là:

Biết $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx =  - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng  

Gọi D là miền giới hạn bởi (P): y = 2x - x² và trục hoành. Tính thể tích vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy.

Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\tan x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=0, x=a \text { với } a \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (e^x + 1)x

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục thỏa mãn $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0, \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}$ và $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x\,f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}$. Tính $f\left( {2018\pi } \right)$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\},$ thỏa ${f}'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1},f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ bằng

Giá trị của tích phân $I=\int_{e}^{e^{2}}\left(\frac{1+x+x^{2}}{x}\right) d x=a$ . Biểu thức P=a-1 có giá trị là

Ta có tích phân $I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.$. Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)

Tích phân $I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin a x d x, a \neq 0$ cóp giá trị

Cho $\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1, \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 3$. Khi đó, $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng