Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=0\), \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x=7}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{3}}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có\(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx=\left. \left[ \frac{{{x}^{3}}}{3}f\left( x \right) \right] \right|}_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{3}}{f}'\left( x \right)dx\). Suy ra \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{3}}{f}'\left( x \right)dx=-\frac{1}{3}\).
Hơn nữa ta dễ dàng tính được \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{6}}}{9}\,}\text{d}x=\frac{1}{63}\).
Do đó\(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x+2.21}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{3}}{f}'\left( x \right)\text{d}x+{{21}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{6}}}{9}\,}\text{d}x=0\)\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+7{{x}^{3}} \right]}^{2}}\text{d}x}=0\).
Suy ra \({f}'\left( x \right)=-7{{x}^{3}}\), do đó \(f\left( x \right)=-\frac{7}{4}{{x}^{4}}+C\). Vì \(f\left( 1 \right)=0\) nên \(C=\frac{7}{4}\).
Vậy \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{7}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-1 \right)\text{d}x}=\frac{7}{5}\).
