Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=0\), \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x=7}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{3}}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có\(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx=\left. \left[ \frac{{{x}^{3}}}{3}f\left( x \right) \right] \right|}_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{3}}{f}'\left( x \right)dx\). Suy ra \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{3}}{f}'\left( x \right)dx=-\frac{1}{3}\).
Hơn nữa ta dễ dàng tính được \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{6}}}{9}\,}\text{d}x=\frac{1}{63}\).
Do đó\(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x+2.21}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{3}}{f}'\left( x \right)\text{d}x+{{21}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{6}}}{9}\,}\text{d}x=0\)\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+7{{x}^{3}} \right]}^{2}}\text{d}x}=0\).
Suy ra \({f}'\left( x \right)=-7{{x}^{3}}\), do đó \(f\left( x \right)=-\frac{7}{4}{{x}^{4}}+C\). Vì \(f\left( 1 \right)=0\) nên \(C=\frac{7}{4}\).
Vậy \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{7}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-1 \right)\text{d}x}=\frac{7}{5}\).
Câu hỏi liên quan
-
Biết \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = x\cos \left( {\pi x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f\left( 4 \right)\).
-
Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt[3]{7}} \frac{3 x^{5}}{\sqrt[3]{8-x^{3}}} d x\) có giá trị là:
-
Tập hợp các giá trị của b sao cho \(\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5} \) là:
-
Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\). Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng
-
Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)\) là:
-
Cho hình phẳng như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng (H)
-
Số nghiệm dương của phương trình \(: x^{3}+a x+2=0, \text { với } a=\int_{0}^{1} 2 x d x\) với , a và b là các số hữu tỉ là
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzamaabm % aabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadIhacaWGLbWaaWba % aSqabeaacaWG4baaaOGaaiOlaaaa!3E38! f\left( x \right) = x{e^x}.\)
-
Cho f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(3 f^{\prime}(x) \cdot e^{f^{3}(x)-x^{2}-1}-\frac{2 x}{f^{2}(x)}=0\). Biết \(f(0)=1\) , tính tích phân \(I=\int_{0}^{\sqrt{7}} x \cdot f(x) \mathrm{d} x\)?
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{2 a x}{x+1} d x=\ln 2\). Giá trị của a là:
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn \(x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)\). Tính \(f(2) \text { biết } f(1)=\mathrm{e}\)
-
Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWG4baa % aOGaaeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!4161! I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}{\rm{d}}x} \)
-
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 2}^2 \left| {{x^2} - 1} \right|dx\) ta được kết quả :
-
Biết \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, xác định, liên tục trên \(\left[ { – 2;2} \right]\) và \(\int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\ 2{x^2} - x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f\left( 3\cos x-2 \right)}\sin x\text{d}x\).
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a^{2} x^{3}+a x}{\sqrt{a x^{2}+1}} d x, \text { vói } a \geq 0\) có giá trị là:
-
Tích phân \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} \) bằng:
-
Cho \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx\; = \; - 3\). Tính \(\mathop \smallint \nolimits_2^4 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx\)
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
