Biết $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx =  - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng  

Tính $\int_{0}^{\pi} x(1+\cos x) d x$ kết quả là:

Gọi (H)  là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2 x, y=\frac{1-x}{x}, y=0$ (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).

Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} – 1} dx}$ bằng cách đặt $u = {x^2} – 1$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tổng $a+b$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính $I=\int_{0}^{2} f(x) d x$

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x^{2}+x & \text { khi } & x \geq 0 \\ x \cdot \sin x & \text { khi } & x \leq 0 \end{array}\right.$. Tính tích phân $I=\int_{-\pi}^{1} f(x) \mathrm{d} x$

 Cho $\int_{0}^{3} \frac{x}{4+2 \sqrt{x+1}} \mathrm{d} x=\frac{a}{3}+b \ln 2+c \ln 3 \text { với } a, b, c$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b+c$ bằng:

Giá trị của tích phân $I=\int_{e}^{e^{2}}\left(\frac{1+x+x^{2}}{x}\right) d x=a$ . Biểu thức P=a-1 có giá trị là

Nếu $\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2;\,\int_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$ thì $\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$ bằng

Cho $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a$. Tìm $a$

Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x d x=\frac{\pi-2}{2}$.Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

$\text { Nếu } \int_{0}^{2}(2 x-3 f(x)) \mathrm{d} x=3 \text { thì } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }$

Cho hai tích phân $\int_{-\pi}^{a} f(x) d x=m \text { và } \int_{-\pi}^{a} g(x) d x=n$ . Giá trị của tích phân $\int_{-a}^{a}[f(x)-g(x)] d x$ là:

Tích phân $\int_{0}^{\pi} x \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) d x$ có giá trị bằng
 

Chof(x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1;4] thỏa mãn: $x+2 x f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4], f(1)=\frac{3}{2}$ . Giá trị f (4) bằng: 

Tính: $\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx$

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R} . \text { Tính } I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x$

Cho hàm số $\begin{equation} f(x), g(x) \text { liên tục trên }[0 ; 1] \text { và } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=-1, \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=2 \text {. Tính } \int_{0}^{1}[2 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x \end{equation}$

Cho hàm số f(x)liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{e}^{e^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=2 . \operatorname{Tính} \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x$

Cho $I=\int_{\sqrt{5}}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}+4}}=\frac{1}{4} \ln \frac{5}{3},(a>\sqrt{5})$ Khi đó giá trị của số thực a là: