Cho hàm số f(x)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{e}^{e^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=2 . \operatorname{Tính} \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &* I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f\left(\cos ^{2} x\right)}{\cos ^{2} x} \cdot \sin 2 x \mathrm{~d} x\\ &\text { Đặt } \cos ^{2} x=t \Rightarrow \sin 2 x \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} t\\ &\text { Đổi cận }\\ &\begin{array}{c|lc} x & 0 & \frac{\pi}{4} \\ \hline t & 1 & \frac{1}{2} \end{array}\\ &\text { Khi đó } I_{1}=-\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &* I_{2}=\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{\mathrm{c}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{\ln ^{2} x} \cdot \frac{2 \ln x}{x} \mathrm{~d} x\\ &\text { Đặt } \ln ^{2} x=t \Rightarrow \frac{2 \ln x}{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} t\\ &\text { Đổi cận }\\ &\begin{array}{l|ll} x & \text { e } & \mathrm{e}^{2} \\ \hline t & 1 & 4 \end{array}\\ &\text { Khi đó } I_{2}=\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Tính } I=\int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x \text { . Đặt } 2 x=t \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} d t\\ &\text { Đổi cận }\\ &\begin{array}{l|ll} x & \frac{1}{4} & 2 \\ \hline t & \frac{1}{2} & 4 \end{array}\\ &\text { Khi đó } I=\int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t+\int_{1}^{4} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=4+4=8 \text { . } \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Biết \(\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}+3 x+3}{x^{2}+2 x+1} \mathrm{d} x=a-\ln b \text { vói } a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a^{2}+b^{2}\)
-
Nếu \(\int_{0}^{1}[3 f(x)+x] \mathrm{d} x=2 \text{ thì } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x = 4 , x = 9 và đường cong có phương trình \(y^{2}=8 x\)
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
-
Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 F\left( x \right)g\left( x \right)dx=3\). Tính tích phân hàm: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 G\left( x \right)f\left( x \right)dx\)
-
Nếu \(\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,\,\,\int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\) thì \(\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(2) \neq 0\) và \(g(x) f^{\prime}(x)=x(x-2) \mathrm{e}^{x}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) \cdot g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ?\)
-
Biết \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}dx = a\ln \sqrt {12} + b\ln \sqrt 7 \), với a, b là các số nguyên. Tổng a + b là :
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin ^{2} x \tan x d x\)có giá trị bằng
-
Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng \(F(1)=1, F(2)=4, G(1)=\frac{3}{2}, G(2)=2 \text { và } \int\limits_{1}^{2} f(x) G(x) d x=\frac{67}{12}\) . Tích phân \(\int_{1}^{2} F(x) g(x) d x\) có giá trị bằng
-
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : \(y=f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} ; y=g(x)=\frac{x^{2}}{2}\).Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng \(T=m \pi^{2}+n \pi ; \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R}\) thì tổng giá trị m + n là ?
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong \(y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\), trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Tính tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{x+1}{x} \mathrm{d} x\)
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng \[x = {\rm{\pi }}\;;\;{\rm{x}} = \frac{{3{\rm{\pi }}}}{2}\) là
-
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\int_{0}^{2} f(x) d x=6\) . Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{\pi / 2} f(2 \sin x) \cos x d x\) là
-
Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x\) là
-
Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3} x^{2}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^{2}} \quad(\text { vói } 0 \leq x \leq 2)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Cho \(I=\int_{\sqrt{5}}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}+4}}=\frac{1}{4} \ln \frac{5}{3},(a>\sqrt{5})\) Khi đó giá trị của số thực a là:
-
Biết \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x\) là
-
Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a\). Tìm \(a\)
