Cho hàm số f(x)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{e}^{e^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=2 . \operatorname{Tính} \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &* I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f\left(\cos ^{2} x\right)}{\cos ^{2} x} \cdot \sin 2 x \mathrm{~d} x\\ &\text { Đặt } \cos ^{2} x=t \Rightarrow \sin 2 x \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} t\\ &\text { Đổi cận }\\ &\begin{array}{c|lc} x & 0 & \frac{\pi}{4} \\ \hline t & 1 & \frac{1}{2} \end{array}\\ &\text { Khi đó } I_{1}=-\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &* I_{2}=\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{\mathrm{c}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{\ln ^{2} x} \cdot \frac{2 \ln x}{x} \mathrm{~d} x\\ &\text { Đặt } \ln ^{2} x=t \Rightarrow \frac{2 \ln x}{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} t\\ &\text { Đổi cận }\\ &\begin{array}{l|ll} x & \text { e } & \mathrm{e}^{2} \\ \hline t & 1 & 4 \end{array}\\ &\text { Khi đó } I_{2}=\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Tính } I=\int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x \text { . Đặt } 2 x=t \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} d t\\ &\text { Đổi cận }\\ &\begin{array}{l|ll} x & \frac{1}{4} & 2 \\ \hline t & \frac{1}{2} & 4 \end{array}\\ &\text { Khi đó } I=\int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t+\int_{1}^{4} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=4+4=8 \text { . } \end{aligned}\)
