Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(1)=4, \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=36 \text { và } \int_{0}^{1} x . f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{5}\) . Tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ giả thiết: } \int_{0}^{1} x \cdot f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{5} \Rightarrow \int_{0}^{1} 5 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=1 \text { . }\\ &\text { Đặt: }\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\ \mathrm{d} v=5 x \mathrm{~d} x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ v=\frac{5}{2} x^{2} \end{array}\right.\right.\\ &\text { Ta có: } I=\int_{0}^{1} 5 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=\left.\frac{5}{2} x^{2} \cdot f(x)\right|_{0} ^{1}-\frac{5}{2} \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\\ &=\frac{5}{2} \cdot f(1)-\frac{5}{2} \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=10-\frac{5}{2} \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x,(\text { vì } f(1)=4) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Mà: } I=\int_{0}^{1} 5 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=1 \Rightarrow 1=10-\frac{5}{2} \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{18}{5}\\ &\Leftrightarrow 10 \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=36 \Leftrightarrow 10 \int_{0}^{1} x^{2} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x, \text { (theo giả thiết: } \left.\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=36\right)\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{1}\left[10 x^{2} \cdot f^{\prime}(x)-\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\right] \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f^{\prime}(x)\left[10 x^{2}-f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=0\\ &\Rightarrow 10 x^{2}-f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(x)=10 x^{2} \Rightarrow f(x)=\frac{10 x^{3}}{3}+C \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Voi } f(1)=4 \Rightarrow 4=\frac{10.1}{3}+C \Rightarrow C=\frac{2}{3} . \text { Khi đó: } f(x)=\frac{10 x^{3}}{3}+\frac{2}{3} \text { . }\\ &\text { Vậy: } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\frac{10 x^{3}}{3}+\frac{2}{3}\right) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{5 x^{4}}{6}+\frac{2}{3} x\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{3}{2} \text { . } \end{aligned}\)
