Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y=\frac{1}{1+\sin 2 x} \text { với } \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} .\) Biết \(F(0)=1 \text { và } F(\pi)=0\)Tính giá trị của biểu thức \(P=F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\left\{\begin{array}{l} F(0)-F\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\left.F(x)\right|_{-\frac{\pi}{12}} ^{0}=\int_{\frac{\pi}{12}}^{0} \frac{d x}{1+\sin 2 x}(1) \\ F(\pi)-F\left(-\frac{11 \pi}{12}\right)=\left.F(x)\right|_{\frac{1 \pi}{12}} ^{\pi}=\int_{\frac{11 \pi}{12}}^{\pi} \frac{d x}{1+\sin 2 x}(2) \end{array}\right.\)
Lấy (2)-(1) ta được
\(F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)+F(\pi)-F(0)=\int\limits_{\frac{11 \pi}{12}}^{\pi} \frac{d x}{1+\sin 2 x}-\int\limits_{-\frac{\pi}{12}}^{0} \frac{d x}{1+\sin 2 x}\)
\(\Leftrightarrow F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)-1=0 \Rightarrow F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)=1\)
