Hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)=\sqrt{x+2}+x f\left(3-x^{2}\right)\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)-x f\left(3-x^{2}\right)=\sqrt{x+2} \Rightarrow \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-\int_{-1}^{2} x f\left(3-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{2} \sqrt{x+2} \mathrm{~d} x=\frac{14}{3}\\ &\text { Đặt } u=3-x^{2} \Rightarrow \mathrm{d} u=-2 x \mathrm{~d} x \text { với }\left\{\begin{array}{l} x=-1 \Rightarrow u=2 \\ x=2 \Rightarrow u=-1 \end{array}\right.\\ &\text { Khi đó } \int_{-1}^{2} x f\left(3-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x \text { thay vào }\left(^{*}\right) \text { ta được }\\ &\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}-\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{14}{3} \Leftrightarrow \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{28}{3} \end{aligned}\)
