Hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)=\sqrt{x+2}+x f\left(3-x^{2}\right)\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)-x f\left(3-x^{2}\right)=\sqrt{x+2} \Rightarrow \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-\int_{-1}^{2} x f\left(3-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{2} \sqrt{x+2} \mathrm{~d} x=\frac{14}{3}\\ &\text { Đặt } u=3-x^{2} \Rightarrow \mathrm{d} u=-2 x \mathrm{~d} x \text { với }\left\{\begin{array}{l} x=-1 \Rightarrow u=2 \\ x=2 \Rightarrow u=-1 \end{array}\right.\\ &\text { Khi đó } \int_{-1}^{2} x f\left(3-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x \text { thay vào }\left(^{*}\right) \text { ta được }\\ &\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}-\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{14}{3} \Leftrightarrow \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{28}{3} \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin 2x.\sin 3xdx\)
-
Tích phân \(I=\int_{\frac{5}{2}}^{3} \sqrt{(x-1)(3-x)} d x\) có giá trị là:
-
Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (ex + 1)x
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x\) có giá trị là
-
Cho hình phẳng như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng (H)
-
Biết \(I = \int_0^\pi {\frac{{x{{\sin }^{2020}}x}}{{{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x}}} {\rm{d}}x = \frac{{{\pi ^a}}}{b} + c,\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).\) Tính P = a.b.c
-
Cho\(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3}+1} d x=\frac{1}{3} \ln a, a\) là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
-
Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) được phân tích thành
-
Tính tích phân sau \(F = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx\)
-
Cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^3 f\left( x \right)dx = a,\;\mathop \smallint \nolimits_2^3 f\left( x \right)dx = b\). Khi đó \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx\) bằng:
-
Cho hàm số\(y=\pi^{x}\) có đồ thị (C). Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 2 , x = 3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức:
-
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
-
Tích phân \(\int_{-1}^{5}\left|x^{2}-2 x-3\right| d x\) có giá trị bằng
-
Giả sử \(\int_{2}^{3} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x+1} \mathrm{d} x=a \ln 7+b \ln 3+c \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+2 b^{2}+3 c^{3}\)
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số \(y=x^{2}\,và\,y=x \,là\)
-
Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn\((C): x^{2}+(y-3)^{2}=1\) xung quanh trục hoành là
-
Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}\). Xác định 3a+b biết \(I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.\) \( (a,b \in \mathbb{R})\)
-
Cho \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{3+2 x-x^{2}} d x=(a-b) \ln 2+b \ln 3\) . Giá trị a + b là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14\) . Tính \(\int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x\)
