Giả sử $I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \frac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx = a\ln \frac{2}{3} + b$. Khi đó giá trị a + 2b là

Hình (S) giới hạn bởi y = 3x + 2, Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn $f(2)=3, \int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4 \text { và } \int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} . \text { Tích phân } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ bằng:

Cho hàm số$y=\pi^{x}$ có đồ thị (C). Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 2 , x = 3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức:

Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+e^{x}}$ là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)=4 x^{3}+2 x$ với mọi $x \in \mathbb{R} \text { và } f(0)=0$ . Giá trị của $f^{2}(1)$ bằng?

Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2{x^3} + 7{x^2} + 3x - 1}}{{2x + 1}}dx$

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = $\sqrt {x\left( {{3^x} + 1} \right)}$ trục hoành và x = 1 xung quanh trục hoành.

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{3^x} + x - 4} \right|dx$ ta được kết quả $I = a + \frac{b}{{\ln c}}$ (với a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức $T = {a^3} + 3{b^2} + 2c$ bằng:

Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn$(C): x^{2}+(y-3)^{2}=1$ xung quanh trục hoành là

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} 2{\sin ^2}\;\frac{x}{2}dx$ bằng:

Tính tích phân sau $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx$

Tính tích phân sau $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn $f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $f^{\prime}(x)+2 f(x)=0$ . Biết$f(1)=1, \text { tính } f(-1)$
 

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R}$ .Tính $I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x$

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} - x - 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 11 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{f\left( 2+\ln x \right)}\frac{1}{x}\text{d}x$.

Cho y=f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ . Giá trị của $\int_{-2}^{2} \frac{f(x)}{3^{x}+1} \mathrm{~d} x$ bằng 

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \text { thỏa mãn } f\left(\frac{\pi}{4}\right)=3, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(x)}{\cos x} \mathrm{~d} x=1$ và $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\sin x \cdot \tan x \cdot f(x)] \mathrm{d} x=2$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot f^{\prime}(x) d x$ bằng: 

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn $f(1)=$ và $f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]$ Giá trị của $\int_{1}^{2} f(x) d x$ bằng?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^{3}+3 x+3$ và đường thẳng y=5 là: