Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x d x=\frac{\pi-2}{2}\).Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos m x d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{m} \sin m x \end{array}\right.\right.\)
Ta có:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x \mathrm{d} x=\left.\frac{x}{m} \sin m x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2 m}}-\frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} \sin m x \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2 m^{2}}+\left.\frac{1}{m^{2}} \cdot \cos m x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2 m}}=\left(\frac{\pi-2}{2}\right) \cdot \frac{1}{m^{2}}\)
Theo giả thiết ta có: \(\left(\frac{\pi-2}{2}\right) \cdot \frac{1}{m^{2}}=\frac{\pi-2}{2} \Leftrightarrow m=\pm 1\)
m là số hữu tỉ dương nên \(m=1 \in\left(\frac{5}{6} ; \frac{8}{7}\right)\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân sau \(B = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {x^3}{\left( {{x^4} - 1} \right)^5}dx\)
-
Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(\int_{0}^{3} x \cdot f^{\prime}(2 x-4) \mathrm{d} x=8 ; f(2)=2 . \text { Tính } I=\int_{-2}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x\)?
-
Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (ex + 1)x
-
Gọi D là miền giới hạn bởi (P): y = 2x - x2 và trục hoành. Tính thể tích vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy.
-
Tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin a x+\cos a x) d x, \text { vói } a \neq 0\) có giá trị là
-
Cho giá trị của tích phân \(I_{1}=\int_{-1}^{1}\left(x^{4}+2 x^{3}\right) d x=a, I_{2}=\int_{-2}^{-1}\left(x^{2}+3 x\right) d x=b\). Giá trị của \(P={a\over b}\)
-
Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y=x^{6} \sin ^{5} x\) trên khoảng \((0 ;+\infty)\). Khi đó \(\int_{1}^{2} x^{6} \sin ^{5} x d x\) có giá trị bằng
-
Biết rằng \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)\). Mệnh đề nào sau đây đúng
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(\int_{0}^{x^{2}} f(t) d t=e^{x^{2}}+x^{4}-1 \text { với } \forall x \in \mathbb{R}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của f (4) là:
-
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{\pi }} {\sin ^2}x.{\cos ^2}xdx\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} x \sqrt{x^{2}+1} d x\) có giá trị là
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
-
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_3^4 \frac{{{x^2}dx}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
-
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{x}{4}, y=0, x=1, x=4\) quay quanh trục Ox bằng
-
Giá trị của \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 2{e^{2x}}dx\) là:
-
Tính tích phân sau \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^1 x\sqrt {1 + {x^2}} dx\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\) và \(\int\limits_0^1 {{x^{2018}}f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {{x^{2019}}f’\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \frac{{2 – \pi }}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
