Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x d x=\frac{\pi-2}{2}\).Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos m x d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{m} \sin m x \end{array}\right.\right.\)
Ta có:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x \mathrm{d} x=\left.\frac{x}{m} \sin m x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2 m}}-\frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} \sin m x \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2 m^{2}}+\left.\frac{1}{m^{2}} \cdot \cos m x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2 m}}=\left(\frac{\pi-2}{2}\right) \cdot \frac{1}{m^{2}}\)
Theo giả thiết ta có: \(\left(\frac{\pi-2}{2}\right) \cdot \frac{1}{m^{2}}=\frac{\pi-2}{2} \Leftrightarrow m=\pm 1\)
m là số hữu tỉ dương nên \(m=1 \in\left(\frac{5}{6} ; \frac{8}{7}\right)\)
