Tính tích phân sau $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} x\;\sin xdx$

 Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0 ;+\infty)$ thỏa mãn f(1)=2 và $x\left(f^{\prime}(x)-x\right)=f(x)-1, \forall x>0$. Giá trị của f(e) bằng?

 Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn $f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính $I=\int_{0}^{2} f(x) d x$

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx$ bằng

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x^{2}-2 x$ , trục hoành, trục tung, đường thẳng x =1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.

Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai?

Biết f(x) là hàm số liên tục trên R, a là số thực thỏa mãn 0 < a < π và $\mathop \smallint \nolimits_0^a f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_0^\pi  f\left( x \right)dx = 1$. Tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^\pi  f\left( x \right)dx$ bằng:

Cho các số thực a, b và các mệnh đề:

$1.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx$

$2.\mathop \smallint \nolimits_a^b 2f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx$

$3.\mathop \smallint \nolimits_a^b {f^2}\left( x \right)dx = {\left[ {\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx} \right]^2}$

$4.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( u \right)du$

Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là:

Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn $f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$. Tính  $I=\int_{0}^{2} f(x) d x$?

Tích phân $I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x$ có giá trị là:

Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và các đường thẳng $x=a, x=b(a<b)$

Tính $\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy$

Cho $I=\int_{0}^{\frac{x}{4}} x \tan ^{2} x d x=\frac{\pi}{a}-\ln \sqrt{b}-\frac{\pi^{2}}{32}$ khi đó tổng a +b bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn  $f(x)=\frac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x}$ . Tính tích phân $I=\int_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x$

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx}$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=4$, $\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=6$. Tính $I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\text{d}x}$

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ ,$f(0)=0 \text { và } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \text { với } \forall x \in \mathbb{R}$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x$ bằng ?

Cho $I=\int_{\sqrt{5}}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}+4}}=\frac{1}{4} \ln \frac{5}{3},(a>\sqrt{5})$ Khi đó giá trị của số thực a là: 

Cho $I=\int_{0}^{1} \frac{1}{3+2 x-x^{2}} d x=(a-b) \ln 2+b \ln 3$ . Giá trị a + b là

Cho tích phân $\mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{cosx + 2}}d{\rm{x}} = a\ln 5 + b\ln 2$ với a,b ∈Z.  Mệnh đề nào dưới đây đúng?