Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}; f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\) và \(f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)\).
\(I = f\left( { – 3} \right) – f\left( { – 4} \right) = \int\limits_{ – 4}^{ – 3} {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_{ – 4}^{ – 3} = \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5}\).
\(J = f\left( 0 \right) – f\left( { – 1} \right) = \int\limits_{ – 1}^0 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_{ – 1}^0 = – \frac{2}{3}\ln 2\)
\(K = f\left( 4 \right) – f\left( 3 \right) = \int\limits_3^4 {f’\left( x \right)} {\rm{d}}x = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_3^4 = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}\)
\( – I – J – K = f\left( { – 4} \right) – f\left( { – 3} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) – f\left( 4 \right)\)
\( = \left[ {f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)} \right] – f\left( 0 \right) – \left[ {f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right)} \right]\)
\(f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right) = – I – J – K + f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right)} \right]\)
\(T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right) = – \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5} + \frac{2}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn \(f(4-x)=f(x), \forall x \in[1 ; 3]\)và \(\int_{1}^{3} x f(x) \mathrm{d} x=-2\) . Giá trị \(\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn:\(g(x)=1+2018 \int^{x} f(t) \mathrm{dt}, g(x)=f^{2}(x)\). Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\sin x}}{{1 + \sin 2x}}dx\)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x = 4 , x = 9 và đường cong có phương trình \(y^{2}=8 x\)
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 12 và \(\mathop \smallint \nolimits_1^4 f'\left( x \right)dx\; = \;17\) . Giá trị của f(4) bằng
-
Cho hàm số y = f( x) = ax3+ bx2+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = -9 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số y = f’ (x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
-
Kết quả \(I=\int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}} d x\) là
-
Tích phân \(I=\int_{-1}^{0} \frac{2 x}{x^{2}+1} d x\) có giá trị là:
-
Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(x^{3}+2 x\right) \cos x+x \cos ^{2} x}{\cos x} d x\) có giá trị là:
-
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b] \text { và } c \in[a ; b]\) . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
-
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = \({\left( {x - 2} \right)^2}\) và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Ox
-
Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
-
Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \) bằng?
-
Tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{x^{7}}{\left(1+x^{2}\right)^{5}} d x\) bằng
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
-
Nếu \(\int_{-2}^{0}\left(5-e^{-x}\right) d x=K-e^{2}\) thì giá trị của K là:
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = x + x−1, trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\)
.Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Xét hàm số f liên tục trên R và các số thực a, b, c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
