Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2{x^3} + 7{x^2} + 3x - 1}}{{2x + 1}}dx\)

 Cho \(\int_{0}^{3} \frac{x}{4+2 \sqrt{x+1}} \mathrm{d} x=\frac{a}{3}+b \ln 2+c \ln 3 \text { với } a, b, c\) là các số nguyên. Giá trị của \(a+b+c\) bằng:

Tích phân \(I=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} d x\) có giá trị bằng

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}-1\), trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 4 x}{\sqrt{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}} d x\) là

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \frac{{\rm{\pi }}}{6};\;x = \;\frac{{\rm{\pi }}}{4}\) là

Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng\(x=a, x=b(a<b)\) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,10} \right]\) và \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \).

Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1, \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 3\). Khi đó, \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}(\sin 2 x-\cos 3 x) d x\) có giá trị là

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b  xung quanh trục Ox.

Số nghiệm nguyên âm của phương trình \(x^{3}-a x+2=0 \text { với } a=\int_{1}^{3 e} \frac{1}{x} d x\) là:

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \([0 ;+\infty)\) thỏa mãn điều kiện \(f(1)=1\) và \(f(x)=f^{\prime}(x) \sqrt{3 x+1}, \forall x \geq 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 

Cho hàm số f (x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{2 x-1}, f(0)=1 \text { và } f(1)=2\). Giá trị của biểu thức \(f(-1)+f(3)\)bằng?

 Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn \(f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)

Khi tính \(I=\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{d} x\) bằng phép đặt \(x=2 \sin t\) thì được

Thể tích của vật tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y =tan x , trục Ox , đường thẳng x = 0 , đường thẳng \(x=\frac{\pi}{3}\)  quanh trục Ox  là:

Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C), xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f(x)>0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f^{\prime}(x)=(x \cdot f(x))^{2}, \forall x \in \mathbb{R} \quad \text { và } \quad f(0)=2\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của đồ thị (C) là. 

Biết \(\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{x+1} \mathrm{d} x=a+\ln b(a, b \in \mathbb{Z}) . \text { Gọi } S=2 a+b\), giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây?

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=e^{x}+e^{-x}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = -2

Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng \(F(1)=1, F(2)=4, G(1)=\frac{3}{2}, G(2)=2 \text { và } \int\limits_{1}^{2} f(x) G(x) d x=\frac{67}{12}\) . Tích phân \(\int_{1}^{2} F(x) g(x) d x\) có giá trị bằng