Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^{2}-1} ; f(-2)+f(2)=0\) và \(f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=0\).Tính \(f(-2)+f(0)+f(4)=0\)
được kết quả?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^{2}-1} \Rightarrow f(x)=\int \frac{2 d x}{x^{2}-1}=\int \frac{2 d x}{(x-1)(x+1)}=\left\{\begin{array}{l} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_{1} \text { khi } x \in(-\infty ;-1) \cup(1 ;+\infty) \\ \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_{1} \operatorname{khi} x \in(-1 ; 1) \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } f(-2)+f(2)=0 \Rightarrow \ln 3+C_{1}+\ln \frac{1}{3}+C_{1}=0 \Leftrightarrow C_{1}=0 \\ \text { và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2 \Rightarrow \ln 3+C_{2}+\ln \frac{1}{3}+C_{2}=2 \Leftrightarrow C_{2}=1 \\ \text { Suy ra: } f(x)=\left\{\begin{array}{l} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right| \text { khi } x \in(-\infty ;-1) \cup(1 ;+\infty) \\ \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+1 \text { khi } x \in(-1 ; 1) \end{array}\right. \\ \Rightarrow f(-3)+f(0)+f(4)=\ln 2+1+\ln \frac{3}{5}=1+\ln \frac{6}{5} \end{array}\)
