Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng $(-1 ;+\infty)$ và thỏa mãn đẳng thức $2 f(x)+\left(x^{2}-1\right) f^{\prime}(x)=\frac{x^{3}+2 x^{2}+x}{\sqrt{x^{2}+3}}$với mọi $x \in(-1 ;+\infty)$ Giá trị của f(0) bằng:

Hình (S) giới hạn bởi y = 3x + 2, Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox.

Cho $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|$ trên tập $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=3$. Tính tổng $f\left( 0 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( -3 \right)$.

Biết $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaaeyzamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaadIhaaaGccaWGKbGaamiE % aaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipakiabg2da9iaadggaca % qGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamOyaaaa!4527! \int\limits_0^1 {x{{\rm{e}}^{2x}}dx} = a{{\rm{e}}^2} + b$$; ( a,b \in Q)$. Tính P = a + b

Tích phân $I=\int_{\frac{5}{2}}^{3} \sqrt{(x-1)(3-x)} d x$ có giá trị là:

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^4 \left| {x - 2} \right|dx$ bằng:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = xsin2x, y = 2x, $x\; = \;\frac{{\rm{\pi }}}{2}$

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}$, trục hoành và đường thẳng x=1 là:
 

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x \mathrm{e}^{x}, y=0$ , x = 0 , x =1 xung quanh trục Ox là

Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 4] đồng biến trên đoạn [1 ; 4] và thỏa mãn đẳng thức $x+2 x \cdot f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$ . Tính $I=\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x ?$

Tính tích phân sau: $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^5}xdx$

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)=4 x^{3}+2 x$ với mọi $x \in \mathbb{R} \text { và } f(0)=0$ . Giá trị của $f^{2}(1)$ bằng?

Cho f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $3 f^{\prime}(x) \cdot e^{f^{3}(x)-x^{2}-1}-\frac{2 x}{f^{2}(x)}=0$. Biết $f(0)=1$ , tính tích phân $I=\int_{0}^{\sqrt{7}} x \cdot f(x) \mathrm{d} x$?

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi} x^{2} \cos 2 x \mathrm{d} x$ bằng cách đặt  $\left\{\begin{array}{l} u=x^{2} \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx, y = 0, x = 0, $x\; = \;\frac{\pi }{3}$ quanh Ox là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\rm{e}}^{2x}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0}\\ {{x^2} + x + 2}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0} \end{array}} \right.$. Biết tích phân $\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)\;{\rm{d}}x}  = \frac{a}{b} + \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{c}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị a + b + c bằng

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox đồ thị hàm số : $y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và các đường y = 0, x = 0, x = 3.

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {(x – 2){e^{2x}}dx}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và $f(x)>0 \text { khi } x \in[0 ; a](a>0)$. Biết $f(x) \cdot f(a-x)=1$ , tính tích phân $I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}$?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^{2}+2, x=1, x=2, y=0$

Tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x$ có giá trị là