Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((-1 ;+\infty)\) và thỏa mãn đẳng thức \(2 f(x)+\left(x^{2}-1\right) f^{\prime}(x)=\frac{x^{3}+2 x^{2}+x}{\sqrt{x^{2}+3}}\)với mọi \(x \in(-1 ;+\infty)\) Giá trị của f(0) bằng:

Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)\left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^{x}, \forall x \in \mathbb{R}\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=3\)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị \(y=(2 x-1) \sqrt{\ln x}\) , trục hoành và đường thẳng x = e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức
 

Cho hai tích phân \(\int_{-\pi}^{a} f(x) d x=m \text { và } \int_{-\pi}^{a} g(x) d x=n\) . Giá trị của tích phân \(\int_{-a}^{a}[f(x)-g(x)] d x\) là:

Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{3}+2 x+1\), trục hoành, x =1 và x = 2 là 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=\frac{1}{3}\) và \(f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\)  với mọi \(x \in[0 ; 1]\).Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0 ; x=1\)

Cho \(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}=a \sqrt{b}-\frac{8}{3} \sqrt{a}+\frac{2}{3},\left(a, b \in \mathbb{N}^{*}\right) . \text { Tính } a+2 b\)

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{3^x} + x - 4} \right|dx\) ta được kết quả \(I = a + \frac{b}{{\ln c}}\) (với a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = {a^3} + 3{b^2} + 2c\) bằng:

\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{1}^{2} f(x) d x=3 \end{equation}\) \(\begin{equation} \text { và } \int_{1}^{2} g(x) d x=-1 \text { thì } \int_{1}^{2}[2 f(x)+3 g(x)] d x \text { bằng } \end{equation}\)

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\\ f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 1 \end{array} \right.\), với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x\).

Tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{d} x=a \pi+b \ln 2, \text { với } a, b\) là các số thực. Tính 16a-8b

Nếu \(\int_{ – 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\) thì \(\int_{ – 2}^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(f(2)=3, \int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4 \text { và } \int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} . \text { Tích phân } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu \(\int_{0}^{3} f(x) d x=2\) thì tích phân \(\int_{0}^{3}[x-2 f(x)] d x\) có giá trị bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=-x^{3}+3 x+3\) và đường thẳng y=5 là:

Tích phân \(I=\int_{1}^{a} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x} d x=\frac{1}{3} \ln \frac{7}{2}\) . Giá trị của a là

Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}\)

Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : \(y=f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} ; y=g(x)=\frac{x^{2}}{2}\).Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng \(T=m \pi^{2}+n \pi ; \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R}\) thì tổng giá trị m + n là ?
 

Cho \(\int_{0}^{a} x e^{x} \mathrm{d} x=1(a \in \mathbb{R})\). tìm a

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2 \cos 2 x}\) . Tính \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\)