Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox đồ thị hàm số : \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và các đường y = 0, x = 0, x = 3.

 Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = (1 − x²), y = 0, x = 0 và x = 1 khi quay quanh trục Ox bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa \(f(-x)+2 f(x)=\cos x\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) là
 

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=x;y=e^{x}\), trục tung và đường thẳng x =1 được tính theo công thức?

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=6 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{~d} x=3\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x\)

Biết \(\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x-5}{2 x+2} \mathrm{d} x=a+\ln b \text { vói } a, b\), là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\\ f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 1 \end{array} \right.\), với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x\).

Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho \(\int_{1}^{5} f(x) d x=-7 \text { và } \int_{1}^{5} g(x) d x=5\) và \(\int_{1}^{5}[g(x)-k f(x)] d x=19\) Giá trị của k là:
 

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx\) bằng

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ 2x - 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)}\cos 2x\text{d}x\).

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^2x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = 3 là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị \(y=(2 x-1) \sqrt{\ln x}\) , trục hoành và đường thẳng x = e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức
 

Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] đồng thời \(f(2)=2, f(3)=5\) . Tính \(\int_{2}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

Cho giá trị của tích phân \(a=2, b=-3 ,I_{1}=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}+2 x}{x+1} d x=a, I_{2}=\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x=b\) Giá trị của biểu thức là P=a-b là:

Biết rằng \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaci4yaiaac+gacaGGZbGaaGOmaiaadIhacaWGKbGaamiEaiab % g2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaisdaaaWaaeWaaeaacaWGHbGaci % 4CaiaacMgacaGGUbGaaGOmaiabgUcaRiaadkgaciGGJbGaai4Baiaa % cohacaaIYaGaey4kaSIaam4yaaGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaaGimaa % qaaiaaigdaa0Gaey4kIipaaaa!50F5! \int\limits_0^1 {x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)} \) với \(a,b,c \in Z\) . Khẳng định nào sau đây đúng 

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\int_{0}^{2} f(x) d x=6\) . Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{\pi / 2} f(2 \sin x) \cos x d x\)  là
 

Cho \(\int_{0}^{1}[f(x)-2 g(x)] \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=5 \text {. Khi đó } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin 3x.\cos xdx\) có giá trị là:

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{1}^{2} \frac{d x}{(2 x-1)^{2}}\) là

Cho \(y = f\left( x \right), y = \,g\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right).f\prime \left( x \right){\rm{d}}x} = 2, \int\limits_0^2 {g\prime \left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} \).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;{e^x}\; - \;{e^{ - x\;}}\), trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.